Magisches Quadrat

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Yang-Hui-Quadrat

Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen oder Buchstaben, wobei bestimmte Forderungen zu erfüllen sind.

Definition

Die übliche Definition eines magischen Quadrates lautet:

„Ein magisches Quadrat der Kantenlänge $n$ ist eine quadratische Anordnung der Zahlen $1,2,...,n^{2}$, sodass die Summe der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich ist.“

Es gibt noch zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, wo nicht alle dieser Bedingungen erfüllt sind oder zusätzliche Einschränkungen gefordert sind (siehe unten).

Eigenschaften

Es ist offensichtlich, dass durch Rotation um 90°, 180° und 270° sowie durch Spiegelung an den Hauptachsen und Diagonalen aus einem magischen Quadrat wieder ein magisches Quadrat entsteht. Diese acht magischen Quadrate sind äquivalent; es genügt, eines davon zu untersuchen. Es hat sich eingebürgert, hier die Frénicle-Standardform zu verwenden:

• Das Element in der linken oberen Ecke [1,1] ist das größte der vier Elemente in den Ecken.
• Das Element rechts daneben [1,2] ist kleiner als das Element darunter [2,1].

Die Zeilen- bzw. Spaltensumme wird als magische Zahl bezeichnet. Es ist leicht zu sehen, dass die magische Zahl $1/n$ mal der Summe der Zahlen von 1 bis $n^{2}$ sein muss:

$S_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{x=1}^{n^{2}}x={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}={\frac {n^{3}+n}{2}}$

Die ersten magischen Zahlen beginnend mit $n=0$ sind

0, 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, … (Folge A006003 in OEIS)

Spezielle magische Quadrate

Symmetrische magische Quadrate

Erfüllt ein magisches Quadrat zusätzlich die Bedingung, dass die Summen zweier Elemente, die punktsymmetrisch zum Mittelpunkt (bei geraden) oder zum zentralen Element (bei ungeraden magischen Quadraten) liegen, gleich sind, so wird es symmetrisches magisches Quadrat genannt. Manchmal wird auch die Bezeichnung assoziatives magisches Quadrat verwendet. Wie man leicht zeigen kann, muss die Summe zweier solcher Elemente $n^{2}+1$ betragen; bei ungeraden symmetrischen magischen Quadraten hat das Mittelfeld den Wert $(n^{2}+1)/2$.

Pandiagonale magische Quadrate

Beispiel eines pandiagonalen magischen Quadrats

Bei einem pandiagonalen magischen Quadrat muss nicht nur die Summe der Diagonalen, sondern auch die der gebrochenen Diagonalen gleich sein. Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Nebendiagonale, wobei Elemente außerhalb des Quadrats um eine Kantenlänge verschoben werden. Die kleinstmögliche Kantenlänge für ein pandiagonales magisches Quadrat ist 4.

Magische Quadrate, die sowohl symmetrisch als auch pandiagonal sind, nennt man ultramagisch.

Primzahlquadrate

Es gibt zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen die Forderung fallengelassen wird, dass nur die Zahlen von 1 bis $n^{2}$ vorkommen sollen, dafür aber zusätzliche Bedingungen erfüllt sein müssen. Die bekanntesten davon sind Primzahlquadrate, bei denen sämtliche Elemente Primzahlen sein müssen.

Die Anzahl magischer Quadrate

Es gibt ein (triviales) magisches Quadrat mit Kantenlänge 1, jedoch keines mit Kantenlänge 2. Abgesehen von Symmetrieoperationen (d.h. in der Frénicle-Standardform) gibt es auch nur ein einziges magisches Quadrat mit Kantenlänge 3 (siehe unter Lo-Shu). Alle 880 magischen Quadrate mit Kantenlänge 4 wurden bereits 1693 von Frénicle de Bessy gefunden. Mit Kantenlänge 5 gibt es 275.305.224 magische Quadrate; darüber hinaus sind keine genauen Zahlen bekannt, es gibt jedoch bis etwa $n=20$ relativ verlässliche Abschätzungen. Die weitest reichenden Berechnungen wurden von Walter Trump durchgeführt. Auch die Anzahl symmetrischer, pandiagonaler und ultramagischer Quadrate für kleinere $n$ ist bekannt, beispielsweise gibt es 48 symmetrische magische Quadrate mit Kantenlänge 4 und 16 ultramagische Quadrate mit Kantenlänge 5.

Berühmte Beispiele

Das Lo-Shu

Ein Beispiel ist das Saturn-Siegel aus China mit der Summe 15:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Das magische Quadrat von Albrecht Dürer

Detail aus Melencolia I

Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I zu finden. Das Dürer-Quadrat hat folgende Eigenschaften:

• Es ist ein symmetrisches magisches Quadrat.
• Die Summe der Elemente der vier Quadranten ist jeweils die magische Zahl 34.
• Auch die Summe der vier Eckfelder und der vier Zentrumsfelder ist jeweils 34.
• Auch die Summe der vier Felder, die jeweils von den vier Eckfeldern um 1 oder um 2 im Uhrzeigersinn weiterversetzten Felder ist jeweils 34 (8+14+9+3 und 12+15+5+2).
• Auch die Summe der in Form eines Drachenvierecks angeordneten Elemente (z. B. 2+10+8+14; 3+9+7+15) ist 34.
• In der Mitte der letzten Zeile erscheint die Jahreszahl 1514, das Jahr, in dem Dürer den Stich anfertigte.
• Am Anfang der letzten Zeile steht eine 4, am Ende eine 1. Setzt man diese Ziffern mit Buchstaben des Alphabets gleich, erhält man D und A, das Monogramm des Künstlers (Dürer Albrecht)

Goethes Hexeneinmaleins

Es gibt viele Interpretationen des Hexeneinmaleins aus Goethes Faust. Neben der naheliegenden Annahme, dass es sich schlicht um Unsinn handelt („mich dünkt, die Alte spricht im Fieber“), wurde es auch als Konstruktionsanleitung für ein magisches Quadrat gedeutet – eine Deutung, die nicht hundertprozentig überzeugt.

Konstruktion magischer Quadrate

Konstruktion eines magischen Quadrats

Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es drei verschiedene Verfahren, die von der Kantenlänge abhängen. Das einfachste Verfahren funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Zahl n von Feldern (also 3×3, 5×5, 7×7 etc.). Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein:

Wenn die zuletzt geschriebene Zahl kein Vielfaches von n ist, dann trage die nächste Zahl in das Feld oben rechts vom zuletzt ausgefüllten Feld. Ist die zuletzt geschriebene Zahl ein Vielfaches von n, dann trage die nächste Zahl in das Feld unter der zuletzt geschriebenen Zahl. Verlässt man nach diesen Regeln das Quadrat nach oben, so schreibe die nächste Zahl ganz unten in die Spalte, die rechts der Spalte liegt, in die die letzte Zahl geschrieben wurde. Wird das Quadrat nach rechts verlassen, schreibe die nächste Zahl ganz links in die Zeile, die über der Zeile der zuletzt geschriebenen Zahl liegt.

Hierbei wird das magische Quadrat als periodisch wiederholt angesehen, d. h. wenn man über den oberen Rand hinausgeht (das passiert schon beim ersten Schritt), kommt man von unten wieder hinein, und wenn man rechts hinausgeht, dann kommt man von links wieder hinein. Hier ein nach dieser Regel konstruiertes 7x7-Quadrat:

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

Keilschrift-Quadrat

Die beiden weiteren Verfahren sind für Quadrate mit gerader Kantenlänge, wobei das eine für alle Quadrate ist, deren Kantenlänge durch 4 teilbar ist, das andere für die, bei denen der Rest 2 beim Teilen durch 4 bleibt.

Ein spielerisches Verfahren zur Konstruktion magischer Quadrate gerader Ordnungen > 4 geht mit Hilfe von Medjig-Lösungen. Hierzu braucht man die Spielteile des Medjig-Puzzles (Philos-Spiele, Art-Nr 6343). Das sind in vier Quadranten verteilte Quadrate, worauf mit Punkten die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in verschiedenen Anordnungen angegeben sind. Das Puzzle hat 18 Teile, alle Anordnungen gibt es dreimal. Siehe Abbildung unten. Das Ziel des Puzzles ist willkürlich 9 Quadrate der Versammlung zu entnehmen und diese Teilversammlung in ein 3 x 3 Quadrat zu legen, so dass in jeder entstandenen Zeile, Spalte und Diagonale die Summe von 9 (Punkten) ergibt.

Die Konstruktion eines magischen Quadrates der Ordnung 6 mit Hilfe des Medjig-Puzzles geht wie folgt: Mache eine 3 x 3 Medjig-Lösung, dazu kann man diesmal unbeschränkt aus der Totalversammlung wählen. Dann nimmt man das bekannte klassische magische Quadrat der Ordnung 3, und verteile alle Felder davon in vier Quadranten. Als nächstes fülle man die Quadranten mit der ursprünglichen Zahl und den drei abgeleiteten modulo-9 Zahlen bis 36, der Medjig-Lösung folgend. Das ursprüngliche Feld mit der Zahl 8 wird also verteilt in vier Feldern mit den Zahlen 8 (= 8 + 0 x 9), 17 (= 8 + 1 x 9), 26 (= 8 + 2 x 9) und 35 (= 8 + 3 x 9), das Feld mit der Zahl 3 wird 3, 12, 21 und 30, usw.. Siehe untenstehendes Beispiel.

8   8   3   3   4   4   8   8   3   3   4   4   1   1   5   5   9   9   1   1   5   5   9   9   6   6   7   7   2   2   6   6   7   7   2   2

+ 9 *

=

26   35   3   21   4   22   17   8   30   12   31   13   28   10   14   23   27   9   1   19   5   32   36   18   33   24   25   7   2   20   6   15   34   16   11   29

Auf gleiche Weise kann man magische Quadrate der Ordnung 8 erzeugen. Man erzeuge dazu erst eine 4 x 4 Medjig-Lösung ( Summe der Punkte jeder Reihe, Spalte, Diagonale 12), und vergrößere danach z. B. das oben abgebildete 4 x 4 Dürer magische Quadrat modulo-16 bis 64. Im allgemeinen braucht man für die Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung ≥10 auf diese Weise mehrere Sätze Medjig-Teile. Für die Ordnung 12 kann man eine 3 x 3 Medjig-Lösung horizontal und vertikal verdoppeln, und danach das oben konstruierte 6 x 6 magische Quadrat modulo-36 ausbreiten nach 144. Ähnlich geht es mit Ordnung 16.

Magische Quadrate der Größe 4 x 4 mit einer ganz bestimmten Quersumme kann man anhand des folgenden Schemas konstruieren, wobei die Variablen a und b für beliebige ganze Zahlen stehen:

Allg. Schema a+b a 12a 7a 11a 8a b 2a 5a 10a 3a 3a+b 4a 2a+b 6a 9a

a=1, b=13 14 1 12 7 11 8 13 2 5 10 3 16 4 15 6 9

S=88, a=3, b=25 28 3 36 21 33 24 25 6 15 30 9 34 12 31 18 27

Die magische Summe beträgt jeweils (21a+b). Soll diese z.B. den Wert 88 betragen, zieht man ein ganzzahliges (= a) Vielfaches von 21 ab, der Rest ist dann die Zahl b. Zum Beispiel (wie im rechten Quadrat gezeigt): 88 – 3 x 21 = 25.

Magische Quadrate dieser Art bestehen im Allgemeinen nicht aus den Zahlen 1, 2, 3, ... 16, und bei ungünstiger Wahl der Werte a und b können zwei Felder die gleiche Zahl enthalten. Die magische Summe (21a+b) ist dafür nicht nur in den Zeilen, Spalten und Diagonalen enthalten, sondern auch in den vier Quadranten, in den vier Eckfeldern sowie im kleinen Quadrat der vier innen liegenden Felder.

Sonstiges

Die 4×4 magischen Quadrate, bei denen auch die Quadranten die magische Summe ergeben, können — wenn man auf die Eigenschaft, dass jede der Zahlen von 1 bis 16 genau einmal vorkommen soll, verzichtet — als Linearkombination der folgenden acht erzeugenden, zueinander kongruenten Quadrate dargestellt werden:

Quadrat A 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0	Quadrat B 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0	Quadrat C 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0	Quadrat D 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Quadrat E 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0	Quadrat F 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1	Quadrat G 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0	Quadrat H 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0

Man beachte, dass diese acht erzeugenden Quadrate nicht linear unabhängig sind, denn

${A}+{D}+{E}+{H}={B}+{C}+{F}+{G}$

d. h. es gibt eine nicht-triviale Linearkombination (eine Linearkombination, deren Koeffizienten nicht alle = 0 sind), die das 0-Quadrat ergibt. Anders ausgedrückt: jedes der acht erzeugenden Quadrate lässt sich als Linearkombination der übrigen sieben darstellen. Sieben erzeugende Quadrate sind aber nötig, um alle magischen 4x4 Quadrate mit der Zusatzeigenschaft „Quadranten“ zu erzeugen; der Vektorraum der magischen 4x4 Quadrate, die von diesen Quadraten erzeugt wird, ist in diesem Sinn 7-dimensional.

Bemerkenswert ist, dass in allen acht erzeugenden Quadraten A–H wie in Albrecht Dürers magischem Quadrat nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (1), sondern auch jeder der vier „Quadranten“, die vier Zentrumsfelder und die vier Eckfelder. Das heißt, dass alle magischen Quadrate, die wir als Linearkombinationen dieser Erzeugenden gewinnen, diese Eigenschaft haben.

Das magische Quadrat aus dem Kupferstich „Melencolia I“ Albrecht Dürers als Linearkombination der erzeugenden Quadrate A–G:

$X=-4\cdot {A}+8\cdot {B}+14\cdot {C}-5\cdot {D}-1\cdot {E}+6\cdot {F}+16\cdot {G}$

Die Summe der Koeffizienten ist natürlich 34 = –4 +8 +14 –5 –1 +6 +16.

Dass die 4 Quadranten auch die magische Summe ergeben, muss nicht unbedingt so sein. Folgendes magische Quadrat hat diese Eigenschaft nicht und ist daher linear unabhängig zu den Quadraten A–H:

1	2	15	16
13	14	3	4
12	7	10	5
8	11	6	9

Nimmt man dieses Quadrat noch zu 7 der Quadrate A–H so erhält man eine Basis für den 8-dimensionalen Vektorraum aller magischen 4×4 Quadrate. Die Summe der Ecken und der vier Zentrumsfelder ist auch bei diesem Quadrat (wie bei allen magischen 4×4- Quadraten) die magische Summe.

Buchstabenquadrate

Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wobei in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter entstehen. Ein Beispiel hierfür ist das Sator-Quadrat:

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

Siehe auch

Magischer Würfel, Magisches Klangquadrat, Palindrom, Sudoku, Vollkommen perfektes magisches Quadrat, Conways LUX-Methode zur Erzeugung Magischer Quadrate, Magisches Sechseck

Weblinks

• Ausführliche Artikel über magische Quadrate
• Seite des Künstlers Paul Heimbach, Köln
  • Geschichtliches
• Dürers magisches Quadrat und seine Bedeutung in Thomas Manns Doctor Faustus
• A perfect magic square (Online Generator - Magisches Quadrat 4x4 mit Javascript)
• Magische Quadrate mit Buchstaben verschiedener Alphabete
• Bildungsgesetz für magische Quadrate bis von 3x3 bis 16x16
• Magische Buchstabenquadrate
• Listen von 3, 4, 5 und 6 Zeichen langen Buchstabenquadraten
• Magische Quadrate interaktiv erzeugen

Commons: Magisches Quadrat – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien