Majorana-Fermion

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Die nach Ettore Majorana benannten Majorana-Spinoren dienen in der Elementarteilchenphysik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen (d. h. Teilchen mit halbzahligem Spin), wenn diese gleich ihren eigenen Antiteilchen sind: sogenannten Majorana-Fermionen. Diese Eigenschaft impliziert, dass die beschriebenen Teilchen keine elektrische Ladung tragen dürfen.

Andernfalls würde es sich um entgegengesetzt geladene und somit klar unterscheidbare Teilchen und Antiteilchen handeln, wie z. B. Elektronen und Positronen. Solche Fermionen, die eine Ladung tragen können, werden als Dirac-Fermionen bezeichnet.

Von den Majorana-Fermionen zu unterscheiden sind außerdem die hypothetischen Majoronen, die zwar ebenfalls nach Ettore Majorana benannt sind, aber als Goldstone-Bosonen ganzzahligen Spin tragen.

Auftreten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Standardmodell: ungeklärte Stellung der Neutrinos[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Standardmodell der Teilchenphysik (SM) ist keines der Elementarteilchen ein Majorana-Fermion. Stattdessen werden hier alle Fermionen durch Dirac-Spinoren beschrieben, auch die Neutrinos, die also standardmäßig von Antineutrinos unterscheidbar sind. Allerdings sind die Neutrinos im Standardmodell masselos, im Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen. Eine populäre Erklärung für die beobachteten Neutrinomassen, der See-Saw-Mechanismus, erfordert dagegen die Beschreibung der Neutrinos durch Majorana-Spinoren und damit die Gleichheit von Neutrinos und Antineutrinos. Dies würde wiederum eine Verletzung der Leptonenzahlerhaltung implizieren, da Teilchen und Antiteilchen dieselbe Leptonenzahl zugewiesen wird.

Ob zwischen Neutrinos und Antineutrinos unterschieden werden kann, ist derzeit noch offen. Eine Möglichkeit zur experimentellen Klärung bietet ein fraglicher Zerfallsmodus, der neutrinolose Doppel-Betazerfall, der nur möglich ist, falls Neutrinos Majorana-Spinoren und keine Dirac-Spinoren sind. Nach diesem Zerfallsmodus wird in Experimenten wie dem Enriched Xenon Observatory[1] (EXO200) gesucht.

Im MSSM[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In supersymmetrischen Erweiterungen des Standardmodells wie dem minimalen supersymmetrischen Standardmodell (MSSM) werden sowohl die Gluinos als auch die Neutralinos durch Majorana-Spinoren beschrieben. Neutralinos sind Kandidaten für WIMPs und Dunkle Materie.

Festkörperphysik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Festkörperphysik tritt an die Stelle der Teilchen-Antiteilchen-Identität die Teilchen-Loch-Identität. In Supraleitern kommt es zur Bildung von Anregungen (Quasiteilchen), die sich aus Teilchen- (Elektron-) und Loch-Zuständen zusammensetzen und bei geeigneter (allerdings in gewöhnlichen Supraleitern nicht vorliegender) Spin-Bahn-Kopplung gleich ihren Antiteilchen sind, sogenannten gebundenen Majorana-Zuständen oder Majorana-Nullmoden (Majorana zero modes). Die Bezeichnung ist der Bezeichnung „Majorana-Fermionen“ hier vorzuziehen, da sie statt Fermi-Statistik eine komplexere Anyonen-Statistik haben. Sie spielen deshalb eine Rolle bei topologischen, fehlertoleranten Quantenrechnern (Alexei Kitaev). Der Name Nullmode kommt daher, dass sie als Teilchen-Loch-Überlagerung verschwindende Anregungsenergie haben. Da die Majorana-Zustände topologisch geschützt sind, spricht man auch von topologischen Supraleitern.

Dass Majorana-Zustände in Supraleitern mit Triplett-Paarung (p-Wellen-Supraleiter in einer Dimension, -Paarung in zwei Dimensionen) auftreten können, war schon länger bekannt, diese waren aber bis dahin noch nicht im Experiment beobachtet worden. Eine realistischere Möglichkeit zur Erzeugung solcher Majorana-Zustände schlugen Charles L. Kane und Liang Fu 2008 vor, die Kopplung eines Supraleiters an einen topologischen Isolator, wo eine -Paarung an der Oberfläche des Kontakts des topologischen Isolators mit dem gewöhnlichen s-Wellen-Supraleiter auftritt.[2] 2010 schlugen unabhängig Sankar Das Sarma (University of Maryland)[3] und Felix von Oppen (FU Berlin)[4] mit ihren Mitarbeitern vor, dass man Heterostrukturen aus gewöhnlichen Supraleitern und geeigneten Halbleitern benutzen könnte: Ein Draht aus einem Halbleitermaterial mit starker Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen wird in Kontakt mit einem Supraleiter gebracht und so selbst teilweise supraleitend. Außerdem wird ein Magnetfeld angelegt, das eine Bandlücke zwischen den Bändern für beide Spinrichtunen erzeugt. Dann sollte sich an den beiden Enden des Drahtes jeweils ein robuster (topologisch gegen Störungen geschützter) Majorana-Zustand ausbilden. Auch andere Realisierungen von Majorana-Zuständen wurden diskutiert.[5]

Eine Gruppe um Leo P. Kouwenhoven und Sergey Frolov (Universität Delft) fand nach diesem Vorschlag 2012 Hinweise auf Majorana-Zustände. Sie benutzten einen Nanodraht aus Indium-Antimon-Halbleitermaterial mit einem normalen Gold-Kontakt und einem Supraleiter-Kontakt. Normalerweise wäre im Draht nur bei einer äußeren Spannung ein Strom messbar, bei Majorana-Nullmoden würde dies aber auch ohne äußere Spannung gelingen, was auch im Experiment gefunden wurde.[6][7]

Weitere Bestätigungen von Majorana-Zuständen in Festkörpern wurden danach von anderen Gruppen erbracht, so von einer Gruppe der Princeton University mit Rastertunnelmikroskopie.[8][9][10]

Es gibt auch weitere Anwendungen in der statistischen Mechanik: 1964 führten Elliott Lieb, Daniel C. Mattis und Theodore D. Schultz eine Beschreibung des zweidimensionalen Ising-Modells mit Majorana-Fermionen ein.[11][12]

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnlich den masselosen Weyl-Fermionen, für welche die Dirac-Gleichung entkoppelt (siehe Weyl-Gleichung), sind Majorana-Fermionen 2-Komponenten-Teilchen, jedoch mit Majorana-Masse.

Die Lagrangedichte eines Majorana-Teilchens ist

wobei wie in der relativistischen Quantenmechanik üblich gilt.

Die zugehörige Dirac-Gleichung für lautet:

Setzt man wie bei den Weyl-Fermionen und beachtet, dass unter einer Lorentztransformation

gilt, so kann man

setzen und es ergibt sich die Majorana-Gleichung für das 2-Komponenten-Feld :

Dabei enthält gemäß die drei Pauli-Spinmatrizen, mit

Die Majorana-Gleichung ist lorentzinvariant und impliziert die Klein-Gordon-Gleichung, welche die Energie-Impuls-Beziehung festlegt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Enriched Xenon Observatory
  2. Liang Fu, Charles L. Kane: Superconducting proximity effect and Majorana fermions at the surface of a topological insulator. Phys. Rev. Lett., Band 100, 2008, S. 096407, Arxiv.
  3. R. M. Lutchyn, J. D. Sau, S. Das Sarma: Majorana Fermions and a Topological Phase Transition in Semiconductor-Superconductor Heterostructures. Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 077001, Arxiv.
  4. Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen: Helical liquids and Majorana bound states in quantum wires. Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 177002, Arxiv.
  5. Jason Alicea: New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems. Reports on Progress in Physics, Band 75, 2012, S. 076501, Arxiv.
  6. V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven: Signatures of Majorana fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices. Science, Band 336, 2012, S. 1003–1007, Arxiv.
  7. Rainer Scharf: Majoranas Spuren. Pro-Physik, 13. April 2012.
  8. Majorana fermion: Physicists observe elusive particle that is its own antiparticle. Phys.org, Oktober 2014.
  9. Stevan Nadj-Perge, Ilya K. Drozdov, Jian Li, Hua Chen, Sangjun Jeon, Jungpil Seo, Allan H. MacDonald, Andrei Bernevig, Ali Yazdani: Observation of Majorana fermions in ferromagnetic atomic chains on a superconductor. Science, Band 346, 2014, S. 602–607.
  10. Jian Li, Hua Chen, Ilya K. Drozdov, A. Yazdani, B. Andrei Bernevig, A. H. MacDonald: Topological Superconductivity induced by Ferromagnetic Metal Chains. Phys. Rev. B, Band 90, 2014, S. 235433, Arxiv, für die theoretische Behandlung.
  11. John Kogut: Introduction to Lattice gauge theory and spin systems. In: Reviews of Modern Physics. Bd. 51, 1979, S. 659–713. Abstract.
  12. Lieb, Mattis, Schultz: Two-Dimensional Ising model as a soluble problem of many fermions. In: Reviews of Modern Physics. Bd. 36, 1964, S. 856.