Master-Theorem

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Der Hauptsatz der Laufzeitfunktionen oder oft englisch Master-Theorem, das ein Spezialfall des Akra-Bazzi-Theorems ist, bietet eine schnelle Lösung für die Frage, in welcher Laufzeitklasse eine gegebene rekursiv definierte Funktion liegt. Jedoch kann mit dem Master-Theorem nicht jede rekursiv definierte Funktion gelöst werden. Lässt sich keiner der drei möglichen Fälle des Master-Theorems auf die Funktion T anwenden, so muss man die Komplexitätsklasse der Funktion anderweitig berechnen.

Allgemeine Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Master-Theorem bietet unter bestimmten Bedingungen asymptotische Abschätzungen für Lösungen der Rekursionsgleichung

Hierbei steht für die gesuchte Laufzeitfunktion, während und Konstanten sind. Ferner bezeichnet eine von unabhängige und nicht negative Funktion. Damit das Master-Theorem angewendet werden kann, müssen für die beiden Konstanten die Bedingungen und erfüllt sein.

Interpretation der Rekursion für :

  = Anzahl der Unterprobleme in der Rekursion
= Teil des Originalproblems, welches wiederum durch alle Unterprobleme repräsentiert wird
= Kosten (Aufwand, Nebenkosten), die durch die Division des Problems und die Kombination der Teillösungen entstehen

Das Master-Theorem unterscheidet drei Fälle, wobei sich höchstens ein Fall auf die gegebene Rekursion anwenden lässt. Passt keiner der Fälle, so lässt sich das Master-Theorem nicht anwenden und man muss sich anderer Methoden bedienen.

Erster Fall Zweiter Fall Dritter Fall
Allgemein
Falls gilt:
 
für ein 
 für ein 
und ebenfalls für ein mit und alle hinreichend großen  gilt:
Dann folgt:
Beispiel
Aus der Formel ist folgendes abzulesen:
  ,
  
  
  ,
  
  
  ,
  
  
1. Bedingung:  
für ein 
 für ein 
Werte einsetzen:
Wähle : mit       mit   
2. Bedingung: (nur im 3. Fall)
Setze auch hier obige Werte ein:
Wähle c = ½:
  
Damit gilt für die Laufzeitfunktion:

= Wahre Aussage )

Verallgemeinerung des zweiten Falls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nicht alle Rekurrenzgleichungen lassen sich mithilfe einer der drei Fällen des Mastertheorems lösen. So ist zum Beispiel die folgende Rekurrenzgleichung nicht direkt mit dem Mastertheorem lösbar.

.

Auf den ersten Blick scheint es, dass der 3. Fall anzuwenden ist:

  ,  
Für den 3. Fall ist zu zeigen:
Definition vom Ω-Kalkül:
Angewandt auf :
Widerspruch!
Es existiert kein , so dass der Limes ungleich Null ist. Also ist der 3. Fall nicht auf diese Rekursionsgleichung anwendbar!

Es gilt: , falls

Genau betrachtet stellt diese Formel eine Verallgemeinerung des zweiten Falls dar.

Lösung nach obiger Formel:

Da die hinreichende Bedingung erfüllt, gilt nun:
Siehe zu demselben Beispiel auch die Aufwandsabschätzung im Ο-Kalkül mit Hilfe der Substitutionsmethode.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Angenommen, es ist folgende Rekurrenz gegeben, bei der durch die Floor- oder Ceiling-Funktion angegeben werden:
z. B.:  
In diesem Fall kann man oder auch mit Hilfe der Form abschätzen.
  • Ob man nun   (Logarithmus naturalis) schreibt, oder   (dekadischer Logarithmus) ist egal, da nach den Logarithmengesetzen gilt:

Allgemeinere Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In allgemeinerer Form gilt auch:

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die zu untersuchende Abbildung der Form

,

wobei , und mit .

wird hierfür implizit durch oder für auf die reellen Zahlen fortgesetzt.

Dann gilt:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]