Landau-Symbole

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Landau-Symbole werden in der Mathematik und in der Informatik verwendet, um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu beschreiben. In der Informatik werden sie bei der Analyse von Algorithmen verwendet und geben ein Maß für die Anzahl der Elementarschritte in Abhängigkeit von der Größe der Eingangsvariablen an. Die Komplexitätstheorie verwendet sie, um verschiedene Probleme danach zu vergleichen, wie „schwierig“ oder aufwendig sie zu lösen sind. Man sagt, „schwere Probleme“ wachsen exponentiell mit der Instanz oder schneller und für „leichte Probleme“ existiert ein Algorithmus, dessen Laufzeitzuwächse sich durch das Wachstum eines Polynoms beschränken lassen. Man nennt sie (nicht) polynomiell lösbar.

Notation Anschauliche Bedeutung

oder

wächst langsamer als

oder

wächst nicht wesentlich schneller als
wächst genauso schnell wie
wächst nicht immer langsamer als (Zahlentheorie)
wächst nicht wesentlich langsamer als (Komplexitätstheorie)
wächst schneller als

Geschichte des O-Symbols[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Großbuchstabe als Symbol für Ordnung von wurde erstmals vom deutschen Zahlentheoretiker Paul Bachmann in der 1894 erschienenen zweiten Auflage seines Buchs Analytische Zahlentheorie verwendet. Bekannt gemacht wurde diese Notation durch den ebenfalls deutschen Zahlentheoretiker Edmund Landau, mit dessen Namen sie insbesondere im deutschen Sprachraum heute in Verbindung gebracht wird.[1]

Sonderfall: Omega-Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei unvereinbare Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt in der Mathematik zwei sehr häufige und inkonsistente Definitionen für

wobei eine reelle Zahl, oder ist, wo die reellen Funktionen und auf einer Umgebung von definiert sind und in dieser Umgebung positiv ist.

Die erste wird in der analytischen Zahlentheorie benutzt und die andere in der Komplexitätstheorie. Diese Situation kann zu Verwechslungen führen.

Die Hardy-Littlewoodsche Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Jahr 1914 führten G. H. Hardy und J. E. Littlewood das Symbol mit der Bedeutung

ein.[2] Also ist die Negation von .

Im Jahr 1918 führten dieselben Verfasser zwei neue Symbole und mit den Bedeutungen

;

ein.[3] Also ist die Negation von und die Negation von .

Im Gegensatz zu einer späteren Aussage von D. E. Knuth[4] verwendete Edmund Landau diese drei Symbole im Jahre 1924 mit den gleichen Bedeutungen.[5]

Diese Hardy-Littlewood-Symbole sind Prototypen, sie werden nie genau so verwendet. ist zu und zu geworden.

Diese drei Symbole sowie (dies bedeutet, dass die beiden Eigenschaften und erfüllt sind) werden heute noch systematisch in der analytischen Zahlentheorie verwendet.

Einfache Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir haben

und speziell

Wir haben

und speziell

aber

Zahlentheoretische Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die strenge Notation wird in der Zahlentheorie nie benutzt und man schreibt weniger streng immer . Dies bedeutet hier „ ist ein Omega von “ und nicht ist gleich ein Omega von “.

Die Knuthsche Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Jahr 1976 veröffentlichte D. E. Knuth einen Artikel,[4] dessen Hauptziel es ist, eine andere Verwendung des -Symbols zu rechtfertigen. Er bemüht sich, seine Leser zu überzeugen, dass die Hardy-Littlewoodsche Definition fast nie benutzt wird (auch im Jahr 1976 war es für mindestens 25 Jahre falsch[6]). Er schreibt, dass er bei Landau keine Anwendung finden konnte und dass George Pólya, der bei Landau studierte, seine, Knuths, Einschätzung bestätigte, dass Landau das -Symbol wohl nicht verwendet hat. Knuth schreibt: “For all the applications I have seen so far in computer science, a stronger requirement […] is much more appropriate”. Es besteht kein Zweifel, dass er recht hat, wenn er das Symbol verwendet, um diese stärkere Anforderung zu beschreiben: “Unfortunately, Hardy and Littlewood didn't define as I wanted to”.

Unter der Gefahr von Missverständnissen und Verwirrung definiert er auch

.[7]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der folgenden Tabelle bezeichnen und entweder

  • Folgen reeller Zahlen, dann ist und der Grenzwert , oder
  • reellwertige Funktionen der reellen Zahlen, dann ist und der Grenzwert aus den erweiterten reellen Zahlen: , oder
  • reellwertige Funktionen beliebiger topologischer Räume , dann ist und auch der Grenzwert . Wichtigster Spezialfall ist dabei .

Formal lassen sich die Landau-Symbole dann mittels Limes superior und Limes inferior folgendermaßen definieren:

Notation Definition Mathematische Definition
asymptotisch gegenüber vernachlässigbar
asymptotische obere Schranke
asymptotisch scharfe Schranke, sowohl als auch
(Zahlentheorie) asymptotische untere Schranke, ist nicht in
(Komplexitätstheorie) asymptotische untere Schranke,
asymptotisch dominant,

In der Praxis existieren meist die Grenzwerte , sodass die Abschätzung des limes superior oft durch die (einfachere) Berechnung eines Grenzwerts ersetzt werden kann.

Äquivalent zur Definition mit Limessymbolen können für einen metrischen Raum , insbesondere also für die Fälle und , folgende Definitionen mit Quantoren verwendet werden:

Notation
(Zahlentheorie)
(Komplexitätstheorie)
Notation
(Zahlentheorie) (die Test-Funktion g ist immer positiv)
(Komplexitätstheorie)

Analoge Definitionen lassen sich auch für den Fall sowie für einseitige Grenzwerte geben.

Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede Funktion f werden durch

jeweils Mengen von Funktionen beschrieben. Es gelten folgende Beziehungen zwischen diesen:

Beispiele und Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Verwendung der Landau-Symbole wird die darin verwendete Funktion häufig verkürzt angegeben. Statt zum Beispiel

schreibt man häufig verkürzend

Dies wird auch in den folgenden Beispielen so gehandhabt.

Notation Bedeutung Anschauliche Erklärung Beispiele für Laufzeiten
ist beschränkt überschreitet einen konstanten Wert nicht (unabhängig vom Wert des Arguments). Nachschlagen des -ten Elementes in einem Feld.
wächst logarithmisch wächst ungefähr um einen konstanten Betrag, wenn sich das Argument verdoppelt.

Die Basis des Logarithmus ist dabei egal.

Binäre Suche im sortierten Feld mit Einträgen
wächst wie die Wurzelfunktion wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument vervierfacht naiver Primzahltest mittels Teilen durch jede ganze Zahl
wächst linear wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument verdoppelt. Suche im unsortierten Feld mit Einträgen (Bsp. Lineare Suche)
hat super-lineares Wachstum Fortgeschrittenere Algorithmen zum Sortieren von Zahlen

Mergesort, Heapsort

wächst quadratisch wächst ungefähr auf das Vierfache, wenn sich das Argument verdoppelt Einfache Algorithmen zum Sortieren von Zahlen

Selectionsort

wächst exponentiell wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument um eins erhöht Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) mittels exhaustivem Verfahren
wächst faktoriell wächst ungefähr auf das -fache, wenn sich das Argument um eins erhöht. Problem des Handlungsreisenden (Mit Enumerationsansatz)

Die Landau-Notation wird verwendet, um das asymptotische Verhalten bei Annäherung an einen endlichen oder unendlichen Grenzwert zu beschreiben. Das große wird verwendet, um eine maximale Größenordnung anzugeben. So gilt beispielsweise nach der Stirling-Formel für das asymptotische Verhalten der Fakultät

für

und

für .

Der Faktor ist dabei nur eine Konstante und kann für die Abschätzung der Größenordnung vernachlässigt werden.

Die Landau-Notation kann auch benutzt werden, um den Fehlerterm einer Approximation zu beschreiben. Beispielsweise besagt

für ,

dass der Absolutbetrag des Approximationsfehlers kleiner als eine Konstante mal für hinreichend nahe bei Null ist.

Das kleine wird verwendet, um zu sagen, dass ein Ausdruck vernachlässigbar klein gegenüber dem angegebenen Ausdruck ist. Für differenzierbare Funktionen gilt beispielsweise

für ,

der Fehler bei Approximation durch die Tangente geht also schneller als linear gegen .

Notationsfallen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symbolisches Gleichheitszeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oft wird in der Mathematik bei der Landau-Notation das Gleichheitszeichen verwendet. Es handelt sich dabei aber um eine rein symbolische Schreibweise und nicht um eine Gleichheitsaussage, auf die beispielsweise die Gesetze der Transitivität oder der Symmetrie anwendbar wären: Eine Aussage wie ist keine Gleichung und keine Seite ist durch die andere bestimmt. Aus und folgt nicht, dass und gleich sind. Genauso wenig kann man aus und schließen, dass und dieselbe Klasse sind oder die eine in der anderen enthalten ist.

Tatsächlich handelt es sich bei um eine Menge, welche alle diejenigen Funktionen enthält, welche höchstens so schnell wachsen wie . Die Schreibweise ist also formal korrekt.

Die Notation mit dem Gleichheitszeichen wie in wird trotzdem in der Praxis ausgiebig genutzt. Beispielsweise soll der Ausdruck besagen, dass es Konstanten und gibt, sodass

für hinreichend große gilt.

Vergessener Grenzwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere Falle besteht darin, dass oft nicht angegeben wird, auf welchen Grenzwert sich das Landausymbol bezieht. Der Grenzwert ist aber wesentlich; so ist beispielsweise für , nicht aber für den einseitigen Grenzwert . Normalerweise wird der betrachtete Grenzwert aber aus dem Zusammenhang klar, sodass hier Mehrdeutigkeiten nur selten auftreten.

Anwendung in der Komplexitätstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Artikel Landau-Symbole#Anwendung in der Komplexitätstheorie, Komplexität (Informatik) und Komplexitätstheorie überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zusammenzuführen (→ Anleitung). Beteilige dich dazu an der betreffenden Redundanzdiskussion. Bitte entferne diesen Baustein erst nach vollständiger Abarbeitung der Redundanz und vergiss nicht, den betreffenden Eintrag auf der Redundanzdiskussionsseite mit {{Erledigt|1=~~~~}} zu markieren. Accountalive 03:47, 1. Jan. 2010 (CET)

In der Komplexitätstheorie werden die Landau-Symbole vor allem verwendet, um den (minimalen, mittleren oder maximalen) Zeit- oder Speicherplatzbedarf eines Algorithmus zu beschreiben. Man spricht dann von Zeitkomplexität bzw. Platzkomplexität. Die Komplexität kann vom verwendeten Maschinenmodell abhängen. In der Regel nimmt man jedoch ein „normales“ Modell an, zum Beispiel ein der Turingmaschine äquivalentes.

Oft ist es sehr aufwendig oder ganz unmöglich, für ein Problem eine Funktion anzugeben, die allgemein jeder beliebigen Eingabe für ein Problem die zugehörige Anzahl der Rechenschritte (bzw. der Speicherzellen) zuordnet. Daher begnügt man sich in der Regel damit, statt jede Eingabe einzeln zu erfassen, sich lediglich auf die Eingabelänge zu beschränken. Es ist aber meist ebenfalls zu aufwendig, eine Funktion anzugeben.

Daher hat man die Landau-Notation entwickelt, die sich auf das asymptotische Verhalten der Funktion beschränkt. Man betrachtet also, in welchen Schranken sich der Rechenaufwand (der Bedarf an Speicher und Rechenzeit) hält, wenn man die Eingabe vergrößert. Das wichtigste Landau-Symbol ist (großer lateinischer Buchstabe „O“), mit dem man obere Schranken angeben kann; untere Schranken sind im Allgemeinen viel schwieriger zu finden. Dabei bedeutet (oft auch ), dass eine Konstante und ein existieren, so dass für alle gilt: . In anderen Worten: Für alle Eingabelängen ist der Rechenaufwand nicht wesentlich größer – d. h. höchstens um einen konstanten Faktor – als .

Dabei ist die Funktion nicht immer bekannt; als Funktion wird hingegen meist eine Funktion gewählt, deren Wachstum gut bekannt ist (wie oder ). Die Landau-Notation ist gerade dazu da, den Rechenaufwand (Platzbedarf) abzuschätzen, wenn es zu aufwendig ist, die genaue Funktion anzugeben, bzw. wenn diese zu kompliziert ist.

Die Landau-Symbole erlauben es dadurch, Probleme und Algorithmen nach ihrer Komplexität in Komplexitätsklassen zusammenzufassen.

In der Komplexitätstheorie lassen sich die verschiedenen Probleme und Algorithmen dann folgendermaßen vergleichen: Man kann für Problemstellungen mit eine untere Schranke für beispielsweise die asymptotische Laufzeit angeben, mit entsprechend eine obere Schranke. Bei wird die Form von (z. B. ) auch als die Komplexitätsklasse oder Aufwandsmaß bezeichnet (also z. B. quadratisch).

Bei dieser Notation werden, wie die Definitionen der Landau-Symbole zeigen, konstante Faktoren vernachlässigt. Dies ist gerechtfertigt, da die Konstanten zu großen Teilen vom verwendeten Maschinenmodell bzw. bei implementierten Algorithmen von der Qualität des Compilers und diversen Eigenschaften der Hardware des ausführenden Computer abhängig sind. Damit ist ihre Aussagekraft über die Komplexität des Algorithmus sehr beschränkt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Earliest Uses of Symbols of Number Theory, 22. September 2006: (Memento vom 19. Oktober 2007 im Internet Archive) According to Wladyslaw Narkiewicz in The Development of Prime Number Theory: “The symbols O(·) and o(·) are usually called the Landau symbols. This name is only partially correct, since it seems that the first of them appeared first in the second volume of P. Bachmann’s treatise on number theory (Bachmann, 1894). In any case Landau (1909a, p. 883) states that he had seen it for the first time in Bachmann's book. The symbol o(·) appears first in Landau (1909a).”
  2. Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood: Some problems of Diophantine approximation. Part II. The trigonometrical series associated with the elliptic ϑ-functions. In: Acta Mathematica. Bd. 37, 1914, S. 193–239, hier S. 225, doi:10.1007/BF02401834.
  3. Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood: Contribution to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. In: Acta Mathematica. Bd. 41, 1916, S. 119–196, doi:10.1007/BF02422942.
  4. a b Donald Knuth: Big Omicron and big Omega and big Theta. SIGACT News, Apr.-June 1976, 18-24 (PDF; 348 kB).
  5. Edmund Landau: Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. (Vierte Abhandlung). In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1924, S. 137–150, (Digitalisat (PDF; 437,39 KB)).
  6. Edward C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Clarendon Press, Oxford 1951.
  7. Mit dem Kommentar: “Although I have changed Hardy and Littlewood's definition of , I feel justified in doing so because their definition is by no mean in wide use, and because there are other ways to say what they want to say in the comparatively rare cases when their definition applies”.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]