Mathieu-Gruppe M22

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Mathieu-Gruppe M₂₂ eine einfache Gruppe mit 443520 Elementen. Sie gehörte zu den ersten fünf im 19. Jahrhundert entdeckten sporadischen Gruppen, die heute als Mathieu-Gruppen bezeichnet werden. Namensgeber ist der französische Mathematiker Émile Léonard Mathieu.

Konstruktion

Sei $F_{4}=\left\{0,1,a,a^{-1}\right\}$ der Körper mit 4 Elementen und $P_{2}(4)$ die projektive Ebene über $F_{4}$.

Wir definieren ein System $M$,

• dessen “Punkte” die Punkte aus $P_{2}(4)$ und zusätzlich ein Punkt $\infty$ sind,
• dessen “Standardblöcke” die um $\infty$ ergänzten Geraden aus $P_{2}(4)$ sind,
• dessen “Nichtstandardblöcke” die Bilder des Ovals $O=\left\{{\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}},{\overline {x_{3}}},{\overline {x_{1}+x_{2}+x_{3}}},{\overline {x_{1}+ax_{2}+a^{-1}x_{3}}},{\overline {x_{1}+a^{-1}x_{2}+ax_{3}}}\right\}$ unter der Wirkung der projektiven speziellen Gruppe $PSL(3,4)$ sind.

Die Menge der Punkte wird mit $M^{0}$ bezeichnet, die Menge der Blöcke (standard oder nichtstandard) mit $M^{1}$. Als Automorphismus von $M$ bezeichnet man Permutationen von $M^{0}$, die Mengen aus $M^{1}$ auf Mengen aus $M^{1}$ abbilden. Ein gerader Automorphismus ist ein Automorphismus, der eine gerade Permutation von $M^{0}$ ist.

Die Mathieu-Gruppe $M_{22}$ ist die Gruppe der geraden Automorphismen von $M$.

Sie wirkt 3-transitiv auf $M^{0}$ und transitiv auf $M^{1}$.

Literatur

• Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk