Modus (Statistik)

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Dieser Artikel beschreibt die Kennzahl von Stichproben. Für den Modus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung siehe Modus (Stochastik), weitere Bedeutungen sind unter Modus zu finden.

Der Modus, auch Modalwert genannt,[1] ist ein Lageparameter in der deskriptiven Statistik. Er ist der häufigste Wert, der in der Stichprobe vorkommt und hat im Gegensatz zu anderen Lagemaßen den Vorteil, dass er immer existiert. Jedoch ist er im Allgemeinen nicht eindeutig. Werden beispielsweise Klausurnoten einer Schulklasse erhoben, so wäre der Modus diejenige Note oder diejenigen Noten, die am häufigsten vergeben wurden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Merkmalsausprägung, die in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt heißt ein Modus der Stichprobe.[2] Damit ist ein Modus genau ein Gipfel der entsprechenden Häufigkeitsverteilung.[3]

Als Notationen für den Modus finden sich meist oder

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nominalskala[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die Stichprobe

Es Treten die Merkmalsausprägungen und auf. Dabei tritt einmal auf, ebenso wie . Sowohl als auch treten zweimal auf. Des Weiteren gibt es kein Merkmal, das dreimal oder öfters auftritt. Also ergeben sich also Modi

und

Ordinalskala[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer Klassenarbeit wurden die Noten

vergeben. Die Noten und wurden jeweils einmal vergeben, die Note zweimal und die Note dreimal. Keine weitere Note wurde viermal vergeben, also ist der Modus

.

Kardinalskala[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man die Stichprobe

So kommen alle Werte bis auf die jeweils nur einmal vor, die jedoch dreimal. Also ist der Modus

Eigenschaften und Vergleich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Modus ist immer definiert, allerdings auch im Allgemeinen nicht eindeutig. Beides zeigt das Beispiel unter #Nominalskala: Keines der gängigen Lagemaße ist in solch einem Allgemeinen Rahmen anwendbar, jedoch treten bei dieser Stichprobe zwei Modi auf. Der Extremfall tritt ein, wenn alle Merkmalsausprägungen in der Stichprobe voneinander verschieden sind. Dann tritt jede nur einmal auf und damit ist jede auch ein Modus.

Bei Stichproben mit Ordnungsstruktur lässt sich zusätzlich zum Modus noch der Median definieren. Die beiden müssen nicht übereinstimmen, so wäre im Beispiel unter #Ordinalskala der Median

,

wohingegen der Modus als

bestimmt wurde.

Bei vorliegen einer Kardinalskala kann zusätzlich noch das arithmetische Mittel bestimmt werden. Modus, Median und arithmetisches Mittel können jedoch weit auseinanderliegen. So ist der Modus im Beispiel unter #Kardinalskala als

bestimmt worden. Für den Median ergibt sich

und für das arithmetische Mittel

.

Aufbauende Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Häufigkeitsverteilungen mit zwei oder mehr Modi werden als Multimodale Verteilungen bezeichnet. Dabei werden Verteilungen mit zwei Modi als bimodal bezeichnet. Verteilungen mit lediglich einem Modus werden unimodal genannt.

Charakterisierung der Neigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Beobachtungsreihen mit ordinal- und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus die Neigung der Verteilung – ähnlich der statistischen Schiefe – charakterisieren.[4] Die Modus-Schiefe nach Karl Pearson ist zum Beispiel definiert als

.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:[5]

  • rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
  • linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
  • unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 37, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
  2. Karl Bosch: Elementare Einführung in die angewandte Statistik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 20.
  3. Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, S. 68, doi:10.1007/978-3-658-13640-6.
  4. Markus Wirtz, Christof Nachtigall: Deskriptive Statistik – Statistische Methoden für Psychologen. 5. Auflage. Juventa, 2008.
  5. Paul T. von Hippel: Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule. Journal of Statistics Education Volume 13, Number 2, 2005.