Modus ponens

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Der Modus ponens ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen (siehe Logik, Kalkül) als Schlussregel verwendet wird. Er erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form Wenn A, dann B und A (den beiden Prämissen der Schlussfigur) eine Aussage der Form B (die Konklusion der Schlussfigur) herzuleiten.

Die technisch korrekte Bezeichnung für den Modus ponens ist – in Abgrenzung zum Modus tollendo ponens – Modus ponendo ponens. Synonym werden unter anderem die Ausdrücke Abtrennungsregel oder Implikationsbeseitigung verwandt. In halbformalen Kalkülen wird die Schlussregel vielfach mit MP abgekürzt.

Etymologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ausdruck Modus ponens leitet sich aus den lateinischen Wörtern modus (hier: Schlussfigur) und ponere (stellen, setzen) ab und bedeutet setzende Schlussfigur, d. h. Schlussfigur, bei der eine positive Aussage hergeleitet wird.

Der vollständige lateinische Name, Modus ponendo ponens, "Schlussfigur (modus), die durch das Setzen (ponendo) einer Aussage eine andere Aussage setzt (ponens)", lässt sich so erklären, dass bei gegebener erster Prämisse, "Wenn A, dann B", durch das "Setzen" (Annehmen) der zweiten Prämisse, A, der aus beiden folgende Satz B "gesetzt" (hergeleitet) wird.

Er entspricht einer der fünf Typen des hypothetischen Syllogismus nach Chrysipp: 'Wenn das erste, dann das zweite; aber das erste; also das zweite'.[1]

Formen und Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Schlussform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schema Beispiel
modus ponendo ponens
Wenn es regnet, wird die Straße nass.
Es regnet.
modus ponendo ponens Die Straße wird nass.

Aus den Prämissen der Form und wird auf die Conclusio geschlossen.

Formal wird der Modus ponens mit dem Ableitungsoperator als Schlussregel notiert.

Als Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obwohl der Modus ponendo ponens eine Schlussregel, also ein metasprachliches Konzept ist, wird die Bezeichnung "Modus ponens" gelegentlich auch für objektsprachliche Ausdrücke mit der folgenden Gestalt verwendet:

(A ∧ (A → B)) → B

Da aber Schlussregeln und Aussagen ganz unterschiedliche Konzepte sind, ist es wissenschaftlich eher unglücklich, sie mit derselben Bezeichnung zu benennen. Generell ist die Vermischung von Objekt- und Metasprache problematisch und sollte normalerweise unterbleiben.

Als Subjunktionsbeseitigungsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Abtrennungsregel in logischen Kalkülen (auch: Beseitigungsregel der Subjunktion (Implikation) in den Systemen des natürlichen Schließens) lautet er so:

→ Abtrennregel: (A → B), A ⇒ B

Als Schnittregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In metalogischer Fassung ist es die Schnittregel:

(Hier wird der Doppelstrich || für die Abschließbarkeit von Dialogstellungen benutzt.)

Dass die Schnittregel in den Gentzentypkalkülen zulässig ist, besagt der Gentzensche Hauptsatz.

Behandlung in der Strengen Logik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im folgenden Absatz wird die Behandlung des Modus ponens in der Strengen Logik (von Walther Brüning) dargestellt:

Die erste Prämisse ist eine Bedingung dyadischer (d. h. zwei Sachverhalte sind miteinander verbunden) Stufe (deshalb Großbuchstabe). Die zweite Prämisse ist eine dyadisch verlängerte henadische (d. h. einen Sachverhalt betreffend) Formel (deshalb Kleinbuchstaben und Gleichstellen); ebenso die Konklusion. Der Modus ponens entspricht einem der einfachsten möglichen Beispiele der ersten zweier Regeln des syllogistischen Schlußverfahrens (Das fett geschriebene a geht in die Konklusion ein.). Das hochgestellte c bedeutet condicio:[2]

1 2 3 4
F
G
~F
G
F
~G
~F
~G
u u N u
a u a u
a a u u

Die Spalten sind nach den verschiedenen möglichen Kombinationen getrennt. Die Verlängerung der Geltungswertformeln der Prämisse bzw. der Konklusion ergibt sich durch die Einführung des jeweils zweiten Begriffes bzw. . Ihr Wert bleibt deshalb bei der Erweiterung gleich (es bilden sich Gleichstellen). "a" - kurz für Affirmation (entspricht wahr); "N" - kurz für Negation (entspricht falsch); "u" - kurz für unbestimmt; "~X" - kurz für Komplement von X.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vgl. Peter Thom: Syllogismus; Syllogistik. in: Historisches Wörterbuch der Philosophie Bd. 10, S. 695
  2. Grundlagen der strengen Logik. Walther Brüning. Würzburg 1996.