Monoid-Objekt

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Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine monoidale Kategorie mit dem Funktor , dem Einheitsobjekt , der natürlichen Transformation mit den Komponenten , sowie den natürlichen Transformationen und gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt zusammen mit zwei Pfeilen und , für die die Gleichungen

  • ,
  • und

gelten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
  • Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
  • In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
  • Ist eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in sind Monaden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170 f.