Multikollinearität

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Multikollinearität ist ein Problem der Regressionsanalyse und liegt vor, wenn zwei oder mehr erklärende Variablen eine sehr starke Korrelation miteinander haben. Zum einen wird mit zunehmender Multikollinearität das Verfahren zur Schätzung der Regressionskoeffizienten instabil und Aussagen zur Schätzung der Regressionskoeffizienten zunehmend ungenau. Zum anderen ist die Modellinterpretation nicht mehr eindeutig.

Probleme der Multikollinearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Perfekte Kollinearität macht die rechnerische Durchführung der linearen Regressionsanalyse unmöglich und tritt meist als Folge der Fehlspezifikation des zu Grunde liegenden Modells auf.

Numerische Instabilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematisch lässt sich die Lösung des linearen Regressionsproblems für die Regressionskoeffizienten der mit der Kleinste-Quadrate-Methode darstellen als

.

Der Vektor enthält die geschätzten Regressionsparameter, der Vektor und die Matrix

die -dimensionalen Beobachtungswerte. Das Problem ist die Berechnung der Inversen von ; je stärker die Multikollinearität ist, desto mehr nähert sich einer singulären Matrix an, d. h. es existiert keine Inverse.

Modellinterpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn das Regressionsmodell ist und perfekte Multikollinearität vorliegt, d. h.

oder umgestellt

und setzt beide Gleichungen jeweils in das Regressionsmodell ein, so erhält man

(1)
(2)

Im Modell (1) hängt nur noch von ab und im Modell (2) hängt nur noch von ab. Es stellt sich nun die Frage, welches Modell ist das „Richtige“? In der Ökonomie spricht man von nicht identifizierbaren Modellen.

Identifikation von Multikollinearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weil empirische Daten immer einen gewissen Grad an Multikollinearität aufweisen, wurden Kennzahlen entwickelt, die Hinweise auf Multikollinearität liefern. Einen eindeutigen Richtwert gibt es jedoch nicht.

Korrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Aufdeckung von Multikollinearität dient z. B. die Analyse der Korrelationskoeffizienten der Regressoren. Sehr hohe positive oder negative Korrelationskoeffizienten zeigen einen starken Zusammenhang zwischen den Regressoren und damit Multikollinearität an. Eine niedrige Korrelation zwischen den Regressoren bedeutet jedoch nicht automatisch die Abwesenheit von Multikollinearität; auch lineare Kombinationen von Regressoren, die eine hohe positive oder negative Korrelation aufweisen, z. B. zwischen und , führen zu den oben genannten Problemen.

Bestimmtheitsmaß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein hohes Bestimmtheitsmaß der linearen Regressionen

,

d. h. der -te Regressor wird durch alle anderen Regressoren gut vorhergesagt, zeigt Multikollinearität an.

Toleranz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Toleranz wird zur Einschätzung der Multikollinearität benutzt. Ein Wert von deutet auf eine starke Multikollinearität hin.

Varianzinflationsfaktor (VIF)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Je größer der Varianzinflationsfaktor , desto stärker sind die Hinweise auf Multikollinearitäten. Einen definitiven Wert, ab wann der VIF eine (zu) hohe Multikollinearität anzeigt, gibt es nicht. Als Daumenregel werden häufig VIF-Werte von über 10 als „zu hoch“ eingestuft.[1]

Konditionsindex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Matrix ist positiv semi-definit, d. h. alle Eigenwerte der Matrix sind positiv oder Null. Wird die Matrix singulär, dann ist mindestens ein Eigenwert gleich Null. Ist der Konditionsindex

für ein größer als 30 spricht man ebenfalls von starker Multikollinearität.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe für die Daumenregel und eine Diskussion dazu: Wooldridge, Introductory Econometrics:A Modern Approach, 2013, S. 98.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Backhaus, K., Erichson, B., Plinke, W., Weiber, R.: Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung. Berlin u. a., 13. Auflage 2013, S.93–96. ISBN 978-3-642-16490-3

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]