Träger (Mathematik)

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Dieser Artikel behandelt den Träger von Funktionen, Distributionen, Schnitten und Garben. Für den Träger eines Maßes siehe Träger (Maßtheorie).

In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Träger einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Träger von wird meist mit oder bezeichnet.

Sei ein topologischer Raum und eine Funktion. Der Träger von besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von , formal:

Träger einer Distribution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge des und eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt zum Träger von gehört, und schreibt , wenn für jede offene Umgebung von eine Funktion existiert mit .

Falls eine reguläre Distribution mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist mit , dann ist , denn die Nichtnullstellenmenge von ist , deren Abschluss ganz ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist mit , falls , sonst , dann ist die Menge .

Ist die charakteristische Funktion von , falls , und , falls , dann ist der Träger , also der Abschluss von .

Sei eine offene Teilmenge des . Die Menge aller Stetigen Funktionen von nach mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit bezeichnet wird.

Die Menge aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution hat den Träger , denn mit gilt: Ist aus , dann ist .

Garbentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum .

Träger eines Schnittes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine offene Teilmenge und einen Schnitt heißt die Menge derjenigen Punkte , für die das Bild von im Halm ungleich null ist, der Träger von , meist mit oder bezeichnet.

Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Träger von selbst ist die Menge der Punkte , für die der Halm ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.