Träger (Mathematik)

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Dieser Artikel behandelt den Träger von Funktionen, Distributionen, Schnitten und Garben. Für den Träger eines Maßes siehe Träger (Maßtheorie).

In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Träger einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Träger von f wird meist mit \operatorname{Tr}(f) oder \operatorname{supp}(f) bezeichnet.

Sei A ein topologischer Raum und f\colon A \to \mathbb{R} eine Funktion. Der Träger von f besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von f, formal:


\operatorname{Tr}(f) = \operatorname{supp}(f) :=
\overline{\{x\in A \mid f(x)\ne 0\}}

Träger einer Distribution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei \Omega eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^d und T \in \mathcal{D}'(\Omega) eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt x_0 \in \Omega zum Träger von T gehört, und schreibt x_0 \in \mathrm{supp}(T), wenn für jede offene Umgebung U \subset \Omega von x_0 eine Funktion \phi \in \mathcal{D}(U) existiert mit \; T(\phi) \neq 0.

Falls T eine reguläre Distribution T=T_f mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = x, dann ist \operatorname{supp}(f) = \mathbb{R}, denn die Nichtnullstellenmenge von f ist \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}, deren Abschluss ganz \mathbb{R} ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = 1, falls \left| x \right| < 1, sonst 0, dann ist \operatorname{supp}(f) die Menge \left\{ x : \left| x \right| \leq 1 \right\}.

Ist \chi_\mathbb{Q} die charakteristische Funktion von \mathbb{Q}: \chi_\mathbb{Q}(x) = 1, falls x \in \mathbb{Q}, und \chi_\mathbb{Q}(x) = 0, falls  x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, dann ist der Träger \mathbb{R}, also der Abschluss von \mathbb{Q}.

Sei U eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^d. Die Menge aller Stetigen Funktionen von U nach \mathbb{R} mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit C_0 (U) bezeichnet wird.

Die Menge C_0^\infty (U) aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in U spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution \delta (f) := f(0) hat den Träger \left\{ 0 \right\}, denn mit \omega := \mathbb{R}^d \setminus \left\{ 0 \right\} gilt: Ist f aus C_0^\infty ( \omega ), dann ist \delta (f) = 0.

Garbentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei F eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum X.

Träger eines Schnittes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine offene Teilmenge U\subseteq X und einen Schnitt s\in\Gamma(U,F) heißt die Menge derjenigen Punkte x\in X, für die das Bild von s im Halm F_x ungleich null ist, der Träger von s, meist mit \mathrm{supp}\,s oder |s| bezeichnet.

Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Träger von F selbst ist die Menge der Punkte x\in X, für die der Halm F_x ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.