Nernstsches Verteilungsgesetz

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Veranschaulichung des Nernstschen Verteilungsgesetzes anhand einer zweiphasigen Lösung (Dispersion). Das Konzentrationsverhältnis k in Phase A_2 und A_1 ist stets konstant und stoffspezifisch.

Das Nernstsche Verteilungsgesetz (benannt nach dem Physikochemiker und Nobelpreisträger Walther Herrmann Nernst) beschreibt die Löslichkeit eines Stoffes in zwei angrenzenden Phasen. Wenn ein Stoff A die Möglichkeit hat, sich zwischen zwei nicht miteinander mischbaren, stark verdünnten Phasen (z. B. einer gasförmigen und einer flüssigen Phase oder zwei flüssigen Phasen) durch Diffusion zu verteilen:

A_\mathrm{Phase\ 1}\leftrightharpoons A_\mathrm{Phase\ 2} ,

entsteht ein Verteilungsgleichgewicht, welches durch die Beziehung

K(A)=\frac{c(A\ in\ Phase\ 1)}{c(A\ in\ Phase\ 2)}=\frac{c^\beta_i}{c^\alpha_i}

beschrieben werden kann, wobei K der nernstsche Verteilungskoeffizient (Gleichgewichtskonstante) und c(A) die Konzentration des Stoffes in den jeweiligen Phasen ist. Für konzentrierte Lösungen wäre jedoch statt der Konzentration die Aktivität einzusetzen.

Der Verteilungskoeffizient wird üblicherweise in Tabellen für das System Oktanol/Wasser angegeben. Nernst stellte das Verteilungsgesetz 1891 auf. Es findet Anwendung beim Ausschütteln bzw. bei Extraktionen gelöster Stoffe aus Wasser mit Diethylether, Dichlormethan oder anderen organischen Lösungsmitteln, aber auch in der Pharmazie und Kosmetik bei der Ermittlung des optimalen Zusatzes von Konservierungsmitteln, die sich in Emulsionen besonders in der lipophilen Phase anreichern, aber nur in der hydrophilen Phase wirksam sind.

Verallgemeinerung zum Nernstschen Verteilungssatz[Bearbeiten]

Oft ist die Kentnis der verbleibenden Stoffmenge für das weitere Vorgehen (nochmaliges Ausschütteln) wichtig. Unter einer Verkettung von sinnvollen Annahmen kann man ein Gleichungssystem des Nernstsche Verteilungsgesetz nach der verbleibenden Stoffmenge herleiten. Je größer K(A) desto besser löst sich der Stoff A in Phase \beta und desto schlechter in Phase \alpha Beim Ausschütteln muss die Wahl des Extraktionsmittels also nach der Größe des Verteilungskoeffizienten getroffen werden:

K(A)=\frac{c^\beta_i}{c^\alpha_i} < 1 \Rightarrow c^\alpha_i > c^\beta_i\Rightarrow \alpha\ ist\ Extraktionsmittel
K(A)=\frac{c^\beta_i}{c^\alpha_i} > 1 \Rightarrow c^\alpha_i < c^\beta_i\Rightarrow \beta\ ist\ Extraktionsmittel

Da sich die Stoffmenge und Masse durch das Ausschütteln nicht verändert, ist die Summe der in Phase \alpha und Phase \beta gelößten Stoffmengen gleich:

n_i^{\alpha}+n_i^{\beta} = n_{i+1}^{\alpha}+n_{i+1}^{\beta}

(Da sich nur deren Verteilung in den Phasen verändert)

Es wird nun vereinbart, die Indices 0 und 1 zu verwenden:

n_0^{\alpha}+n_0^{\beta} = n_{1}^{\alpha}+n_{1}^{\beta}

Durch Auflösen der Beziehung zwischen Konzentration, Stoffmenge und Volumen ergibt sich:

c=\frac{n}{V}\Leftrightarrow n = c \cdot V

Es wird angenommen, dass die Stoffmenge in Phase \beta (vor dem Schütteln) zu Beginn 0 sei:

\Rightarrow c_0^\alpha \cdot V_0^\alpha + \underbrace{c_0^\beta \cdot V_0^\beta}_\text{=0} = c_1^\alpha \cdot V_1^\alpha + c_1^\beta \cdot V_1^\beta

Somit entfällt dieser Term:

c_0^\alpha \cdot V_0^\alpha = c_1^\alpha \cdot V_1^\alpha + c_1^\beta \cdot V_1^\beta

Es wird ferner angenommen, dass sich das Volumen der Phase \alpha nicht ändert, da die Phase \beta Extraktionsmittel ist:

V_0^\alpha=V_1^\alpha
\Rightarrow c_0^\alpha \cdot V_0^\alpha = c_1^\alpha \cdot V_0^\alpha + c_1^\beta \cdot V_1^\beta \vert :V_0^\alpha
\Leftrightarrow c_0^\alpha = c_1^\alpha + c_1^\beta \cdot \frac{V_1^\beta}{V_0^\alpha}

Aus dem Umstellen des Nernstschen Verteilungsgesetzes folgt:

K(A)=\frac{c^\beta_i}{c^\alpha_i} \Leftrightarrow c^\beta_i = K(A) \cdot c^\alpha_i
\Rightarrow c^\beta_1 = K(A) \cdot c^\alpha_1
\Rightarrow c_0^\alpha = c_1^\alpha + K(A) \cdot c^\alpha_1 \cdot \frac{V_1^\beta}{V_0^\alpha} = c_1^\alpha \left ( 1 + K(A) \cdot \frac{V_1^\beta}{V_0^\alpha} \right ) \vert :c_1^\alpha \vert \cdot c_1^\beta

Somit ergibt sich der Nernstsche Verteilungssatz für das erste Ausschütteln zu:

c_1^\alpha = \frac{c_0^\alpha}{1 + K(A) \cdot \frac{V_1^\beta}{V_0^\alpha}}

Man geht davon aus, dass sich die Volumina der Phasen beim Ausschütteln nicht ändern und immer das gleiche Volumen zur Extraktion verwendet wird:

V_0^\alpha=V_1^\alpha
V_0^\beta=V_1^\beta
\Rightarrow c_1^\alpha = \frac{c_0^\alpha}{1 + K(A) \cdot \frac{V^\beta}{V^\alpha}}

Bei n maligem Ausschütteln ergibt sich folgende Formel:

\Rightarrow c_n^\alpha = \frac{c_0^\alpha}{\left ( 1 + K(A) \cdot \frac{V^\beta}{V^\alpha} \right )^n}

Berechnung der extrahierten Masse[Bearbeiten]

Die Konzentration (der einzelnen Phasen) umgestellt nach der Stoffmenge

c=\frac{n}{V}
\Leftrightarrow n=cV

kombiniert mit der Molaren Masse (des zu extrahierenden Stoffs)

M=\frac{m}{n}
\Leftrightarrow n=\frac{m}{M}

ergeben einen Ausdruck, der Masse und Konzentration verknüpft:

n=\frac{m}{M}=cV

Er kann nach der Masse aufgelößt werden:

\Rightarrow m = c\cdot V\cdot M

In Kombination mit der oben hergeleiteten Gleichung ergibt sich:

\Rightarrow \frac{m_n^\alpha}{M}\cdot V = \frac{ \frac{m_0^\alpha}{M} \cdot V}{\left ( 1 + K(A) \cdot \frac{V^\beta}{V^\alpha} \right )^n}

Da bereits vereinbart wurde, dass sich Stoffmenge und Volumen nicht verändern, folgt für die Gesamtmasse des extrahierten Stoffs nach n-maligem Ausschütteln:

\Rightarrow m_n^\alpha = \frac{m_0^\alpha}{\left ( 1 + K(A) \cdot \frac{V^\beta}{V^\alpha} \right )^n}

Literatur[Bearbeiten]

H. Elias, S. Lorenz, G. Winnen: Das Experiment: 100 Jahre Nernstscher Verteilungssatz, Chemie in unserer Zeit, 26. Jahrg. 1992, Nr. 2, S. 70, ISSN 0009-2851