Niemytzki-Raum

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Der Niemytzki-Raum (nach Viktor Vladimirovich Nemytskii) ist ein im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersuchtes konkretes Beispiel eines topologischen Raumes. Auf der oberen Halbebene wird eine im Vergleich zur euklidischen Topologie feinere Topologie, die so genannte Niemytzki-Topologie, eingeführt. Dadurch entsteht ein topologischer Raum, der in vielen Situationen als Gegenbeispiel dient.

Der Niemytzki-Raum wird von manchen Autoren auch Niemytzki-Ebene oder Moore-Ebene (nach Robert Lee Moore) genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umgebungen im Niemytzki-Raum

Auf der oberen Halbebene wird die Niemytzky-Topologie wie folgt durch die Angabe einer Umgebungsbasis der Punkte aus X erklärt: Ist und , so sei für

Ist , so sei

Im Falle handelt es sich also um offene Kreise mit Radius um , die mit der oberen Halbebene geschnitten sind, ist ein auf dem Punkt aufgesetzter offener Kreis mit Radius zusammen mit diesem Punkt.

Man definiert nun eine Menge als offen in der Niemytzki-Topologie, wenn es zu jedem ein gibt mit . mit der Niemytzki-Topologie heißt Niemytzki-Raum.

Vergleich mit der euklidischen Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

konvergiert gegen , hat keinen Grenzwert.

Für einen Punkt mit stimmen die Umgebungsbasen bzgl. der euklidischen Topologie und der Niemytzki-Topologie überein.

Eine euklidische Umgebung eines Punktes enthält einen hinreichend kleinen Halbkreis um diesen Punkt. In jedem solchen Halbkreis ist eine Niemytzki-Umgebung enthalten, wenn man klein genug wählt. Umgekehrt ist aber keine euklidische Umgebung in einer Niemytzki-Umgebung von enthalten. Das zeigt, dass die Niemytzki-Topologie echt feiner als die euklidische Topologie ist.

Die durch definierte Folge konvergiert in beiden Topologien gegen . Die durch definierte Folge konvergiert bzgl. der euklidischen Topologie gegen , nicht jedoch bzgl. der Niemytzki-Topologie; in dieser hat die Folge überhaupt keinen Grenzwert.

Teilräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Teilraum trägt wegen als Teilraumtopologie die diskrete Topologie. ist eine abgeschlossene Menge bzgl. der Niemytzki-Topologie. Die Teilraumtopologie auf stimmt mit der euklidischen Topologie überein.

Topologische Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Niemytzki-Raum hat eine Reihe topologischer Eigenschaften, die in vielen Situationen als Gegenbeispiele dienen.

Lokalkompaktheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann zeigen, dass der Niemytzki-Raum nicht lokalkompakt ist. Dennoch ist ein abgeschlossener Teilraum, derart dass und beide lokalkompakt sind.

Trennungsaxiome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Niemytzki-Raum X ist vollständig regulär. Zur Trennung einer abgeschlossenen Menge von einem außerhalb gelegenen Punkt benötigt man neben den bzgl. der euklidischen Topologie stetige Funktionen, auch bzgl. der Niemytzki-Topologie stetig sind, noch Funktionen der Art

,

mit und , die ebenfalls bzgl. der Niemytzki-Topologie stetig sind.

Man kann zeigen, dass und disjunkte, abgeschlossene Mengen sind, die nicht durch offene Mengen getrennt werden können, d. h. X ist nicht normal.

Separabilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Niemytzki-Raum ist separabel, in der Tat liegt dicht in . Während sich im Falle metrischer Räume Separabilität auf Teilräume vererbt, zeigt der nicht-separable Teilraum , dass dies im Allgemeinen nicht gilt (die Sorgenfrey-Ebene ist ein weiteres Beispiel dieser Art).

Abzählbarkeitsaxiom[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Niemytzki-Raum genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, denn die Mengen , bilden eine abzählbare Umgebungsbasis von . Man kann zeigen, dass er nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Während aus der Separabilität und dem ersten Abzählbarkeitsaxiom im Falle metrischer Räume das zweite Abzählbarkeitsaxiom folgt, zeigt der Niemytzki-Raum also, dass dies im Allgemeinen falsch ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]