Unterraum

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Als Raum bezeichnet man in der Mathematik eine Menge versehen mit einer mathematischen Struktur. Unter einem Unterraum oder Teilraum versteht man eine Teilmenge , welche bezüglich der Struktur im weitesten Sinne abgeschlossen ist. Die genaue Definition hängt von der Struktur ab.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Untervektorraum

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Eine Teilmenge von heißt Untervektorraum von , wenn sie mit den von induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

  • für alle auch (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) und
  • für alle und alle auch (Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation)

gilt.

Topologischer Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei ein topologischer Raum auf der Menge mit der Familie der offenen Mengen . Jede Teilmenge wird zu einem Unterraum, wenn darauf die Durchschnitte von mit den in offenen Mengen als offene Mengen des Unterraums definiert werden. wird damit zu einem topologischen Raum, der die Unterraumtopologie trägt.

Dieser Unterraum erbt im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften des größeren Raumes , zum Beispiel kann die Trennungseigenschaft T4 verloren gehen.

Metrischer Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei ein metrischer Raum. Jede Teilmenge wird zu einem Unterraum durch Einschränken der Metrik von auf .

Falls ein vollständiger metrischer Raum ist, so ist genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn abgeschlossen ist.

Kategorielle Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Kontext einer Kategorie von Räumen definiert man einen Unterraum eines Raumes dadurch, dass ein bestimmter Monomorphismus in den Raum, in dem er enthalten sein soll, existiert. Je nach Situation fordert man etwa, dass der Monomorphismus extrem sein muss. Dies macht in nicht-ausgeglichenen Kategorien einen Unterschied, etwa in der Kategorie der topologischen Räume: Jede stetige Injektion ist dort ein Monomorphismus, dieser ist jedoch nicht unbedingt eine Einbettung im Sinne der Topologie, da das Bild eines Monomorphismus auch gröber sein kann als der potentielle Unterraum. Ein extremer Monomorphismus ist dagegen gerade eine topologische Einbettung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]