Pauli-Gleichung

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Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene[1] Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahl von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

Hier bezeichnet

  • die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
  • die -te Komponente des Impulsoperators,
  • die elektrische Ladung und die Masse des Teilchens,
  • das skalare elektrische Potential und das magnetische Vektorpotential,
  • den gyromagnetischen Faktor,
  • die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator ),
  • das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden[2]. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung aus der Dirac-Gleichung

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Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

  mit  

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

die Zeitableitung der Zweierspinoren und klein ist.

In der Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie Daher ist klein gegen und ungefähr gleich

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

Der Spinor genügt daher der Pauli-Gleichung mit ,

Im homogenen Magnetfeld gilt und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls und trägt nicht nur zur Energie bei. Der Faktor wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke Dagegen ergibt ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, 1927, S. 601–623, doi:10.1007/BF01397326.
  2. Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.