Poisson-Transformation

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In der Mathematik ist die Poisson-Transformation ein Verfahren zur Konstruktion harmonischer Funktionen auf der Einheitskreisscheibe. Das Integral, das in dieser Konstruktion auftaucht, heißt Poisson-Integral[1] und der Integralkern dessen wird Poisson-Kern genannt.[2] Benannt sind sowohl die Transformation, das Integral und der Integralkern nach dem Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson.

Problemstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben ist eine (beschränkte) Funktion auf dem Einheitskreis , gesucht wird eine (beschränkte) harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe , deren Werte auf dem Rand mit der gegebenen Funktion übereinstimmen.

Mit anderen Worten: es soll das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung

auf der Kreisscheibe gelöst werden.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Poisson-Kern ist die durch

gegebene Funktion.

Die Poisson-Transformation ist die Integraltransformation mit Integralkern : einer Funktion wird die auf definierte Funktion

zugeordnet, wobei das uniforme Wahrscheinlichkeitsmaß auf bezeichnet.

Man kann zeigen, dass eine beschränkte harmonische Funktion ist.

Bijektion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poisson-Transformation stellt eine Bijektion zwischen der Menge der beschränkten Funktionen auf und der Menge der beschränkten harmonischen Funktionen auf her.

Mit anderen Worten: zu jeder Funktion gibt es eine eindeutige harmonische Funktion mit Randwerten .

Die Bijektion erhält die -Norm.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poisson-Transformation lässt sich auf die n-dimensionale Einheitskugel verallgemeinern, in diesem Fall ist der Poisson-Kern für .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1
  • Quint, J.-F.: An overview of Patterson-Sullivan theory, Workshop "The barycenter method", FIM, Zurich, May 2006 (Online)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Poisson-Integral. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Poisson-Kern. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.