Produkttopologie

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jedes aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge sei ein topologischer Raum. Sei das kartesische Produkt der Mengen . Für jeden Index bezeichne die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen stetig sind. Man nennt mit dieser Topologie den Produktraum der .

Explizite Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Topologie auf explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume unter den kanonischen Projektionen bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d.h. eine Teilmenge ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen dargestellt werden können. Dabei liegt in und sind offene Teilmengen von . Daraus folgt, dass im Allgemeinen nicht alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn endlich ist.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Produktraum zusammen mit den kanonischen Projektionen wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist ein topologischer Raum und für jedes ist stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion , so dass für alle gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wenn zwei metrische Räume sind, dann erhält man die Produkttopologie auf mit der Metrik
  • Die Produkttopologie auf dem -fachen kartesischen Produkt der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.
  • Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.
  • Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Räume versehen und ist dann kompakt. Diese Topologie wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die konvergieren. Insbesondere ist für den Raum aller Funktionen von nach die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: ist stetig genau dann, wenn alle stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]