In der Mathematik verlangt das Prouhet-Tarry-Escott-Problem nach zwei disjunkten Multimengen A und B mit jeweils
ganzen Zahlen, deren erste
symmetrische Potenzsummenpolynome alle gleich sind. Anders formuliert, sollten die beiden Multimengen folgende Gleichungen erfüllen:
für alle ganzen Zahlen
zwischen 1 und einem gegebenen ![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Es konnte gezeigt werden, dass
sein muss.
Mit anderen Worten werden ganzzahlige Lösungen für das folgende Gleichungssystem gesucht:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{1}^{1}+a_{2}^{1}+\ldots +a_{n}^{1}&=&b_{1}^{1}+b_{2}^{1}+\ldots +b_{n}^{1}\\a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&=&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}&=&b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+\ldots +b_{n}^{3}\\\ldots &&\\a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}&=&b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+\ldots +b_{n}^{k}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc396ac77774decd37ec1f4ce1e02341b92375ec)
Oder kurz:
mit ![{\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99331ef93f95878310c8c8039c8a9d9e532c2c7)
Lösungen, die bis
gelten, nennt man ideale Lösungen.
Ideale Lösungen sind bekannt für
und für
. Somit sind keine idealen Lösungen bekannt für
und für
.[1]
Das Problem wurde nach den drei Mathematikern Eugène Prouhet, Gaston Tarry und Edward B. Escott benannt, die es in den frühen 1850er-Jahren (Prouhet) bzw. in den frühen 1910er-Jahren (Tarry & Escott) untersuchten. Das Problem selbst geht auf Briefe von Christian Goldbach und Leonhard Euler aus den Jahren 1750/1751 zurück.
- Eine symmetrische Lösung hat die folgende Form:
und
für gerade
und ![{\displaystyle T\in {\frac {\mathbb {Z} }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dccd0effd975bb39c77392621cb1220fb3d146)
und
für ungerade
und ![{\displaystyle T\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326706871eaece41f6d53a2f12117266fbae5727)
- Lösungen, die obige Eigenschaft nicht besitzen, heißen nicht-symmetrische Lösungen.
- Eine ideale Lösung für
ist die folgende:[2]
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}0^{1}+5^{1}+6^{1}+16^{1}+17^{1}+22^{1}&=&1^{1}+2^{1}+10^{1}+12^{1}+20^{1}+21^{1}\quad (=66)\\0^{2}+5^{2}+6^{2}+16^{2}+17^{2}+22^{2}&=&1^{2}+2^{2}+10^{2}+12^{2}+20^{2}+21^{2}\quad (=1090)\\0^{3}+5^{3}+6^{3}+16^{3}+17^{3}+22^{3}&=&1^{3}+2^{3}+10^{3}+12^{3}+20^{3}+21^{3}\quad (=19998)\\0^{4}+5^{4}+6^{4}+16^{4}+17^{4}+22^{4}&=&1^{4}+2^{4}+10^{4}+12^{4}+20^{4}+21^{4}\quad (=385234)\\0^{5}+5^{5}+6^{5}+16^{5}+17^{5}+22^{5}&=&1^{5}+2^{5}+10^{5}+12^{5}+20^{5}+21^{5}\quad (=7632966)\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b43af749be055c06d1502aac9d1507dabd76937)
- oder kurz:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d49c0d98a2d5df824f7b37ff76dd35cd0e552)
- oder mit der Schreibweise, mit der dieser Artikel eingeführt wurde:
- Eine ideale Lösung für
ist für die beiden Mengen
und
bekannt.
- Eine weitere, noch kürzere Schreibweise ist die folgende:
ist eine ideale Lösung für
(oder
).
- Die beiden Mengen
und
sind bezüglich
symmetrisch, weil sie die folgende Form haben:
und ![{\displaystyle B=\{11\pm 10,11\pm 9,11\pm 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152d59c44f9a1a82e4c43793b2b29b52f44ba3cb)
- Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1912 entdeckt.
- Eine ideale (und bezüglich
sogar symmetrische) Lösung für
ist für die beiden Mengen
und
bekannt:
und
. Es gilt also:
bzw.
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
- Eine ideale (und bezüglich
sogar symmetrische) Lösung für
ist für die beiden Mengen
und
bekannt:
und
. Es gilt also:
bzw.
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4f05b5f0f2ba6ff28ca138d671b884df3b23d8)
- Eine ideale (und bezüglich
sogar symmetrische) Lösung für
ist für die beiden Mengen
und
bekannt. Es gilt also:
- für
![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01072c60d8a3470efb6558da0f3305064b6cc6f)
- Diese Lösung wurde von Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac und Chen Shuwen im Jahr 1999 entdeckt.
- Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für
und
, die bezüglich
symmetrisch sind:
Ideale Lösungen für
![{\displaystyle 2\leq n\leq 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054712cd3e6638289b3fc2528712b313dd80df46)
und
![{\displaystyle n=12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fb7dfd38b5db65d78bb6f2c1bf9e6e6cd07c14)
, die bezüglich
![{\displaystyle T=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6a5b6d0370b358a8d5f3df6d17eeca08d3629b)
symmetrisch sind
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4514f1d9d4092b26e28ee7563d8d50a4ae6dedec)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4f05b5f0f2ba6ff28ca138d671b884df3b23d8)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d49c0d98a2d5df824f7b37ff76dd35cd0e552)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05144474f6fbac66b63d9a4aec348f34891b2bad)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269a27bcb3ab2748f509dff58328954329760e5a)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeec3ced5654245725d96d9fb09600bce43d9dd7)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bea8a05b08f3b80acc1baded277105e936f23e)
- Für
ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt (die schon weiter oben angegeben ist):
und
bekannt. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01072c60d8a3470efb6558da0f3305064b6cc6f)
- Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für
und
, die bezüglich irgendeinem
symmetrisch sind:[2]
Ideale Lösungen für
![{\displaystyle 2\leq n\leq 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054712cd3e6638289b3fc2528712b313dd80df46)
und
![{\displaystyle n=12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fb7dfd38b5db65d78bb6f2c1bf9e6e6cd07c14)
, die bezüglich irgendeinem
![{\displaystyle T\not =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76be01330d73b5501c98b35ffde948fbcde46cf8)
symmetrisch sind
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4514f1d9d4092b26e28ee7563d8d50a4ae6dedec)
- Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
und
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4514f1d9d4092b26e28ee7563d8d50a4ae6dedec)
- Die vier Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Diese Lösungen sind allerdings trivial und werden normalerweise nicht erwähnt.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
- Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
und
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
- Die vier Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4f05b5f0f2ba6ff28ca138d671b884df3b23d8)
- Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4f05b5f0f2ba6ff28ca138d671b884df3b23d8)
- Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d49c0d98a2d5df824f7b37ff76dd35cd0e552)
- Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1912 entdeckt. Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
und
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d49c0d98a2d5df824f7b37ff76dd35cd0e552)
- Die vier Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05144474f6fbac66b63d9a4aec348f34891b2bad)
- Diese Lösung wurde von Edward B. Escott im Jahr 1910 entdeckt. Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05144474f6fbac66b63d9a4aec348f34891b2bad)
- Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269a27bcb3ab2748f509dff58328954329760e5a)
- Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1913 entdeckt. Sie ist die kleinste bekannte Lösung für
. Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269a27bcb3ab2748f509dff58328954329760e5a)
- Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeec3ced5654245725d96d9fb09600bce43d9dd7)
- Diese Lösung wurde von A. Letac in den 1940er-Jahren entdeckt. Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeec3ced5654245725d96d9fb09600bce43d9dd7)
- Diese Lösung wurde ebenfalls von A. Letac in den 1940er-Jahren entdeckt. Die beiden Mengen
und
mit ungeradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bea8a05b08f3b80acc1baded277105e936f23e)
- Diese Lösung wurde von A. Letac in den 1940er-Jahren entdeckt und war die erste bekannte. Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bea8a05b08f3b80acc1baded277105e936f23e)
- Diese kleinste bekannte Lösung wurde von Peter Borwein, Petr Lisonek und Colin Percival im Jahr 2000 entdeckt. Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Für
ist die folgende ideale Lösung bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01072c60d8a3470efb6558da0f3305064b6cc6f)
- Diese Lösung wurde von Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac und Chen Shuwen im Jahr 1999 entdeckt. Die beiden Mengen
und
mit geradem
sind bezüglich
symmetrisch.
- Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für
, die nicht-symmetrisch sind (für andere
sind bis dato keine bekannt):[3]
Ideale Lösungen für
![{\displaystyle 3\leq n\leq 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b5c421f6d349c3b9c0e4a17aacca2f4869a500)
, die nicht-symmetrisch sind
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen nicht-symmetrischen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
und
und
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen nicht-symmetrischen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
und
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
- Diese Lösung wurde von Chen Shuwen im Jahr 1997 entdeckt und war die erste bekannte dieser Art mit
.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen nicht-symmetrischen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4f05b5f0f2ba6ff28ca138d671b884df3b23d8)
- Diese Lösung wurde von J. L. Burchnall und T. W. Chaundy im Jahr 1937 entdeckt und war die erste bekannte dieser Art mit
.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4f05b5f0f2ba6ff28ca138d671b884df3b23d8)
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen nicht-symmetrischen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d49c0d98a2d5df824f7b37ff76dd35cd0e552)
- Diese Lösung wurde von Albert Gloden im Jahr 1944 entdeckt und war die erste bekannte dieser Art mit
.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d49c0d98a2d5df824f7b37ff76dd35cd0e552)
- Diese Lösung wurde von Chen Shuwen im Jahr 1995 entdeckt.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen nicht-symmetrischen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05144474f6fbac66b63d9a4aec348f34891b2bad)
- Diese Lösung wurde von Chen Shuwen im Jahr 1997 entdeckt und war die erste bekannte dieser Art mit
. Sie ist die kleinste bekannte Lösung.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05144474f6fbac66b63d9a4aec348f34891b2bad)
- Diese Lösung wurde von Chen Shuwen im Jahr 2001 entdeckt.
- Für
sind unter anderem die folgenden idealen nicht-symmetrischen Lösungen bekannt:
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269a27bcb3ab2748f509dff58328954329760e5a)
- Diese Lösung wurde von Chen Shuwen im Jahr 1997 entdeckt und war die erste bekannte dieser Art mit
.
und
. Es gilt also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269a27bcb3ab2748f509dff58328954329760e5a)
- Diese Lösung wurde von Chen Shuwen im Jahr 1997 entdeckt.
- Sei
und
mit
eine Lösung, also:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721fef5e71dece40711e24d91dd1e5082a2cf9aa)
- Dann gilt:[4][5][6]
- Auch
und
mit
und ganzzahligem
ist Lösung.
- Lösungen, die mit dieser Methode zustande kommen, werden äquivalente Lösungen genannt.
- Diese Eigenschaft ermöglicht es, Lösungen zu standardisieren, indem beispielsweise gefordert wird, dass sie nur positive Zahlen enthalten.
Beispiele
- Beispiel 1:
- Es gilt:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- also:
![{\displaystyle 0^{1}+3^{1}+3^{1}=1^{1}+1^{1}+4^{1}\quad (=6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8f8dd2b02db4cb659ab62e30bed9bb04b0b441)
- und:
![{\displaystyle 0^{2}+3^{2}+3^{2}=1^{2}+1^{2}+4^{2}\quad (=18)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3453c96237ce59ea44dd90e3d08048383e21f8)
- Setzt man zum Beispiel für
und
, so erhält man die folgenden äquivalenten Lösungen:
für
und ![{\displaystyle T:=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d169f41d9bb6a8c56c19c95dca4e80036953378)
für
und ![{\displaystyle T:=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2d30b7e6d2d725b64f61191404295c994493c6)
für
und ![{\displaystyle T:=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b45a761b1c2557bd5f3bf06aeca5c7bddc5179d)
für
und ![{\displaystyle T:=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91b0380f9fd21f6b3d4895d53a9c1059ebe4ec3)
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
- Beispiel 2:
- Es gilt:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- Für
und
erhält man folgende äquivalente Lösung:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- also:
![{\displaystyle (-7)^{1}+8^{1}+8^{1}=(-2)^{1}+(-2)^{1}+13^{1}\quad (=9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c47d9e233995ad94b2e22e73a8b91cd9c8e4a4)
- und:
![{\displaystyle (-7)^{2}+8^{2}+8^{2}=(-2)^{2}+(-2)^{2}+13^{2}\quad (=177)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fec0847304a905e060bec04d95c999e28efcfc)
- Beispiel 3:
- Es gilt:
und
ist eine (oben schon erwähnte) ideale symmetrische Lösung für
, die allerdings negative Mengenelemente enthält. Um eine äquivalente Lösung zu erhalten, die nur positive Elemente enthält, muss man noch geeignete
und
finden. Sei also
und
, dann erhält man folgende Lösung:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overline {A}}&=&\{1\cdot (-151)+151,(-140)+151,(-127)+151,(-86)+151,(-61)+151,(-22)+151,22+151,61+151,86+151,127+151,140+151,151+151\}\\&=&\{0,11,24,65,90,129,173,212,237,278,291,302\}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426d8469bb0fce8c5c5c484ddc497106552abd7f)
- und
.
- Es gilt also:
![{\displaystyle 0^{k}+11^{k}+24^{k}+65^{k}+90^{k}+129^{k}+173^{k}+212^{k}+237^{k}+278^{k}+291^{k}+302^{k}=3^{k}+5^{k}+30^{k}+57^{k}+104^{k}+116^{k}+186^{k}+198^{k}+245^{k}+272^{k}+297^{k}+299^{k}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6266c7489bce141c4bd31e0f68716fb604f1691)
- Auch diese Lösung wurde weiter oben schon erwähnt.
- Sei
und
mit
eine Lösung.
- Dann gilt:[4][7][6]
- Auch
und
mit
und ganzzahligem
ist Lösung.
- Sei
und
mit
eine Lösung. Sei weiters
und
.
- Dann gilt:[4][5]
- Auch
und
mit
ist Lösung.
Beispiele
- Beispiel 1:
- Es gilt:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- Weiters ist somit
und
und man erhält folgende Lösungen:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,4\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39825719ce7bb75ea04c96a8bdc84a85f5604b1)
- also:
![{\displaystyle (-6)^{1}+3^{1}+3^{1}=(-3)^{1}+(-3)^{1}+6^{1}\quad (=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a30b53adba24b896e720d15b0c62252a17dd60)
- und:
![{\displaystyle (-6)^{2}+3^{2}+3^{2}=(-3)^{2}+(-3)^{2}+6^{2}\quad (=54)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1efa036b72f7da87d34ab6052f83f755110a0f)
- und:
![{\displaystyle (-6)^{3}+3^{3}+3^{3}=(-3)^{3}+(-3)^{3}+6^{3}\quad (=\pm 162)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d07b9abd10f829e8646bfdf0c3441c5adf3ff4)
- und:
![{\displaystyle (-6)^{4}+3^{4}+3^{4}=(-3)^{4}+(-3)^{4}+6^{4}\quad (=1458)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe59eca55cd67680b76b732e43c066e87e97509)
- Man bemerkt, dass für
die Gleichung nicht stimmt, aber für
stimmt sie wieder, wie verlangt.
- Beispiel 2:
- Es gilt:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
- Weiters ist somit
und
und man erhält folgende Lösungen:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3,5\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fe13284a8a60538b32b4d54c82e91688373c8f)
- also:
![{\displaystyle (-42)^{1}+(-6)^{1}+2^{1}+46^{1}=(-34)^{1}+(-26)^{1}+18^{1}+42^{1}\quad (=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab72328fe0ac7808d87d463fe1f1e61f83bb3bb)
- und:
![{\displaystyle (-42)^{2}+(-6)^{2}+2^{2}+46^{2}=(-34)^{2}+(-26)^{2}+18^{2}+42^{2}\quad (=3920)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781f7517d082f5218189a3a7e42db3fd2f92dae2)
- und:
![{\displaystyle (-42)^{3}+(-6)^{3}+2^{3}+46^{3}=(-34)^{3}+(-26)^{3}+18^{3}+42^{3}\quad (=23040)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1177586ae54cb11fa44b4d8609435d8392f1dcb6)
- und:
bzw. ![{\displaystyle 5009984)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ddf6c5efc242fbcd6126ff2b1b99384139910a)
- und:
![{\displaystyle (-42)^{5}+(-6)^{5}+2^{5}+46^{5}=(-34)^{3}+(-26)^{3}+18^{5}+42^{3}\quad (=75264000)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43e2ffc456c2835e9b281004e10fe2068e9e788)
- Man bemerkt, dass für
die Gleichung nicht stimmt, aber für
stimmt sie wieder, wie verlangt.
- Sei
und
mit
eine nicht triviale Lösung.
- Dann gilt:[4][6][7]
![{\displaystyle m\geq n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a736d69008c1556de86a17ef725f880f15eb42f9)
- Ist
, so nennt man die Lösungen (wie schon oben erwähnt) ideale Lösungen.
Beispiel
- Beispiel:
- Es gilt (als Beispiel für eine triviale Lösung):
für
ist eine triviale Lösung, also nicht erlaubt.
- Man muss ein anderes, nicht triviales Beispiel nehmen:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af077841fcac4c11a840649267f3886bff7327c6)
- In diesem Beispiel ist
und
, es ist somit eine ideale Lösung. Es ist also
. Wäre
, würde diese Ungleichung nicht mehr gelten. Somit gibt es keine Lösung der Form
für
mit ![{\displaystyle n>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd)
- Der französische Mathematiker Prouhet nutzte die Thue-Morse-Folge, um eine Lösung für
für alle
zu finden. Im Speziellen unterteilte er die Zahlen zwischen
und
in
- a) die Zahlen, deren Binärdarstellung (also die Darstellung im Dualsystem) eine gerade Anzahl an Einsen enthält (die sogenannten bösen Zahlen), und
- b) die Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Einsen enthält (die sogenannten abscheulichen Zahlen).
- Dann ergeben die beiden Mengen der Unterteilung eine Lösung des Problems.[8]
- Beispiel:
- Sei
und
. Dann gilt für die Unterteilung der Zahlen von
bis
:
- 0=(0)2, 3=(11)2, 5=(101)2, 6=(110)2, 9=(1001)2, 10=(1010)2, 12=(1100)2 und 15=(1111)2
- Diese 8 Zahlen haben in ihrer Binärentwicklung allesamt eine gerade Anzahl an Einsen, sind somit böse Zahlen und bilden die Menge
.
- 1=(1)2, 2=(10)2, 4=(100)2, 7=(111)2, 8=(1000)2, 11=(1011)2, 13=(1101)2 und 14=(1110)2
- Diese 8 Zahlen haben in ihrer Binärentwicklung allesamt eine ungerade Anzahl an Einsen, sind somit abscheuliche Zahlen und bilden die Menge
.
- Tatsächlich erhält man eine Lösung für das Gleichungssystem:
für ![{\displaystyle k\in \{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a00b1bbe866774d9373144fb192dfd50c97f50)
Seien
zwei positive ganze Zahlen. Dann sind zwei ganzzahlige Multimengen
und
gesucht, sodass gilt:
für alle
mit
.
Diese höherdimensionale Variante des Prouhet-Tarry-Escott Problems wurde von Andreas Alpers und Robert Tijdeman im Jahr 2007 eingeführt und untersucht.[9]
- Sei
und
. Dann gilt:
und ![{\displaystyle \{(x'_{1},y'_{1}),\dots ,(x'_{6},y'_{6})\}=\{(1,2),(2,5),(5,7),(7,6),(6,3),(3,1)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3854043a64dd8610df5cba97f8b8d5f6c0783318)
- Mit anderen Worten:
![{\displaystyle {\begin{array}{rclcll}2^{0}\cdot 1^{0}+1^{0}\cdot 3^{0}+3^{0}\cdot 6^{0}+6^{0}\cdot 7^{0}+7^{0}\cdot 5^{0}+5^{0}\cdot 2^{0}&=&1^{0}\cdot 2^{0}+2^{0}\cdot 5^{0}+5^{0}\cdot 7^{0}+7^{0}\cdot 6^{0}+6^{0}\cdot 3^{0}+3^{0}\cdot 1^{0}&\quad (=&6),&d=0,j=0\\2^{0}\cdot 1^{1}+1^{0}\cdot 3^{1}+3^{0}\cdot 6^{1}+6^{0}\cdot 7^{1}+7^{0}\cdot 5^{1}+5^{0}\cdot 2^{1}&=&1^{0}\cdot 2^{1}+2^{0}\cdot 5^{1}+5^{0}\cdot 7^{1}+7^{0}\cdot 6^{1}+6^{0}\cdot 3^{1}+3^{0}\cdot 1^{1}&(=&24),&d=1,j=0\\2^{1}\cdot 1^{0}+1^{1}\cdot 3^{0}+3^{1}\cdot 6^{0}+6^{1}\cdot 7^{0}+7^{1}\cdot 5^{0}+5^{1}\cdot 2^{0}&=&1^{1}\cdot 2^{0}+2^{1}\cdot 5^{0}+5^{1}\cdot 7^{0}+7^{1}\cdot 6^{0}+6^{1}\cdot 3^{0}+3^{1}\cdot 1^{0}&(=&24),&d=1,j=1\\2^{0}\cdot 1^{2}+1^{0}\cdot 3^{2}+3^{0}\cdot 6^{2}+6^{0}\cdot 7^{2}+7^{0}\cdot 5^{2}+5^{0}\cdot 2^{2}&=&1^{0}\cdot 2^{2}+2^{0}\cdot 5^{2}+5^{0}\cdot 7^{2}+7^{0}\cdot 6^{2}+6^{0}\cdot 3^{2}+3^{0}\cdot 1^{2}&(=&124),&d=2,j=0\\2^{1}\cdot 1^{1}+1^{1}\cdot 3^{1}+3^{1}\cdot 6^{1}+6^{1}\cdot 7^{1}+7^{1}\cdot 5^{1}+5^{1}\cdot 2^{1}&=&1^{1}\cdot 2^{1}+2^{1}\cdot 5^{1}+5^{1}\cdot 7^{1}+7^{1}\cdot 6^{1}+6^{1}\cdot 3^{1}+3^{1}\cdot 1^{1}&(=&110),&d=2,j=1\\2^{2}\cdot 1^{0}+1^{2}\cdot 3^{0}+3^{2}\cdot 6^{0}+6^{2}\cdot 7^{0}+7^{2}\cdot 5^{0}+5^{2}\cdot 2^{0}&=&1^{2}\cdot 2^{0}+2^{2}\cdot 5^{0}+5^{2}\cdot 7^{0}+7^{2}\cdot 6^{0}+6^{2}\cdot 3^{0}+3^{2}\cdot 1^{0}&(=&124),&d=2,j=2\\2^{0}\cdot 1^{3}+1^{0}\cdot 3^{3}+3^{0}\cdot 6^{3}+6^{0}\cdot 7^{3}+7^{0}\cdot 5^{3}+5^{0}\cdot 2^{3}&=&1^{0}\cdot 2^{3}+2^{0}\cdot 5^{3}+5^{0}\cdot 7^{3}+7^{0}\cdot 6^{3}+6^{0}\cdot 3^{3}+3^{0}\cdot 1^{3}&(=&720),&d=3,j=0\\2^{1}\cdot 1^{2}+1^{1}\cdot 3^{2}+3^{1}\cdot 6^{2}+6^{1}\cdot 7^{2}+7^{1}\cdot 5^{2}+5^{1}\cdot 2^{2}&=&1^{1}\cdot 2^{2}+2^{1}\cdot 5^{2}+5^{1}\cdot 7^{2}+7^{1}\cdot 6^{2}+6^{1}\cdot 3^{2}+3^{1}\cdot 1^{2}&(=&608),&d=3,j=1\\2^{2}\cdot 1^{1}+1^{2}\cdot 3^{1}+3^{2}\cdot 6^{1}+6^{2}\cdot 7^{1}+7^{2}\cdot 5^{1}+5^{2}\cdot 2^{1}&=&1^{2}\cdot 2^{1}+2^{2}\cdot 5^{1}+5^{2}\cdot 7^{1}+7^{2}\cdot 6^{1}+6^{2}\cdot 3^{1}+3^{2}\cdot 1^{1}&(=&608),&d=3,j=2\\2^{3}\cdot 1^{0}+1^{3}\cdot 3^{0}+3^{3}\cdot 6^{0}+6^{3}\cdot 7^{0}+7^{3}\cdot 5^{0}+5^{3}\cdot 2^{0}&=&1^{3}\cdot 2^{0}+2^{3}\cdot 5^{0}+5^{3}\cdot 7^{0}+7^{3}\cdot 6^{0}+6^{3}\cdot 3^{0}+3^{3}\cdot 1^{0}&(=&720),&d=3,j=3\\2^{0}\cdot 1^{4}+1^{0}\cdot 3^{4}+3^{0}\cdot 6^{4}+6^{0}\cdot 7^{4}+7^{0}\cdot 5^{4}+5^{0}\cdot 2^{4}&=&1^{0}\cdot 2^{4}+2^{0}\cdot 5^{4}+5^{0}\cdot 7^{4}+7^{0}\cdot 6^{4}+6^{0}\cdot 3^{4}+3^{0}\cdot 1^{4}&(=&4420),&d=4,j=0\\2^{1}\cdot 1^{3}+1^{1}\cdot 3^{3}+3^{1}\cdot 6^{3}+6^{1}\cdot 7^{3}+7^{1}\cdot 5^{3}+5^{1}\cdot 2^{3}&=&1^{1}\cdot 2^{3}+2^{1}\cdot 5^{3}+5^{1}\cdot 7^{3}+7^{1}\cdot 6^{3}+6^{1}\cdot 3^{3}+3^{1}\cdot 1^{3}&(=&3650),&d=4,j=1\\2^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 3^{2}+3^{2}\cdot 6^{2}+6^{2}\cdot 7^{2}+7^{2}\cdot 5^{2}+5^{2}\cdot 2^{2}&=&1^{2}\cdot 2^{2}+2^{2}\cdot 5^{2}+5^{2}\cdot 7^{2}+7^{2}\cdot 6^{2}+6^{2}\cdot 3^{2}+3^{2}\cdot 1^{2}&(=&3426),&d=4,j=2\\2^{3}\cdot 1^{1}+1^{3}\cdot 3^{1}+3^{3}\cdot 6^{1}+6^{3}\cdot 7^{1}+7^{3}\cdot 5^{1}+5^{3}\cdot 2^{1}&=&1^{3}\cdot 2^{1}+2^{3}\cdot 5^{1}+5^{3}\cdot 7^{1}+7^{3}\cdot 6^{1}+6^{3}\cdot 3^{1}+3^{3}\cdot 1^{1}&(=&3650),&d=4,j=3\\2^{4}\cdot 1^{0}+1^{4}\cdot 3^{0}+3^{4}\cdot 6^{0}+6^{4}\cdot 7^{0}+7^{4}\cdot 5^{0}+5^{4}\cdot 2^{0}&=&1^{4}\cdot 2^{0}+2^{4}\cdot 5^{0}+5^{4}\cdot 7^{0}+7^{4}\cdot 6^{0}+6^{4}\cdot 3^{0}+3^{4}\cdot 1^{0}&(=&4420),&d=4,j=4\\2^{0}\cdot 1^{5}+1^{0}\cdot 3^{5}+3^{0}\cdot 6^{5}+6^{0}\cdot 7^{5}+7^{0}\cdot 5^{5}+5^{0}\cdot 2^{5}&=&1^{0}\cdot 2^{5}+2^{0}\cdot 5^{5}+5^{0}\cdot 7^{5}+7^{0}\cdot 6^{5}+6^{0}\cdot 3^{5}+3^{0}\cdot 1^{5}&(=&27984),&d=5,j=0\\2^{1}\cdot 1^{4}+1^{1}\cdot 3^{4}+3^{1}\cdot 6^{4}+6^{1}\cdot 7^{4}+7^{1}\cdot 5^{4}+5^{1}\cdot 2^{4}&=&1^{1}\cdot 2^{4}+2^{1}\cdot 5^{4}+5^{1}\cdot 7^{4}+7^{1}\cdot 6^{4}+6^{1}\cdot 3^{4}+3^{1}\cdot 1^{4}&(=&22832),&d=5,j=1\\2^{2}\cdot 1^{3}+1^{2}\cdot 3^{3}+3^{2}\cdot 6^{3}+6^{2}\cdot 7^{3}+7^{2}\cdot 5^{3}+5^{2}\cdot 2^{3}&=&1^{2}\cdot 2^{3}+2^{2}\cdot 5^{3}+5^{2}\cdot 7^{3}+7^{2}\cdot 6^{3}+6^{2}\cdot 3^{3}+3^{2}\cdot 1^{3}&(=&20648),&d=5,j=2\\2^{3}\cdot 1^{2}+1^{3}\cdot 3^{2}+3^{3}\cdot 6^{2}+6^{3}\cdot 7^{2}+7^{3}\cdot 5^{2}+5^{3}\cdot 2^{2}&=&1^{3}\cdot 2^{2}+2^{3}\cdot 5^{2}+5^{3}\cdot 7^{2}+7^{3}\cdot 6^{2}+6^{3}\cdot 3^{2}+3^{3}\cdot 1^{2}&(=&20648),&d=5,j=3\\2^{4}\cdot 1^{1}+1^{4}\cdot 3^{1}+3^{4}\cdot 6^{1}+6^{4}\cdot 7^{1}+7^{4}\cdot 5^{1}+5^{4}\cdot 2^{1}&=&1^{4}\cdot 2^{1}+2^{4}\cdot 5^{1}+5^{4}\cdot 7^{1}+7^{4}\cdot 6^{1}+6^{4}\cdot 3^{1}+3^{4}\cdot 1^{1}&(=&22832),&d=5,j=4\\2^{5}\cdot 1^{0}+1^{5}\cdot 3^{0}+3^{5}\cdot 6^{0}+6^{5}\cdot 7^{0}+7^{5}\cdot 5^{0}+5^{5}\cdot 2^{0}&=&1^{5}\cdot 2^{0}+2^{5}\cdot 5^{0}+5^{5}\cdot 7^{0}+7^{5}\cdot 6^{0}+6^{5}\cdot 3^{0}+3^{5}\cdot 1^{0}&(=&27984),&d=5,j=5\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27985a70699fbaa224f8db6916b9ce128299b25)
- Es sind keine Lösungen für
mit
bekannt.
- ↑ Peter Borwein: The Prouhet–Tarry–Escott problem. Computational Excursions in Analysis and Number Theory, 2002, S. 85–96, abgerufen am 14. April 2024.
- ↑ a b The Prouhet-Tarry-Escott Problem – Ideal symmetric solutions
- ↑ The Prouhet-Tarry-Escott Problem – Ideal non-symmetric solutions
- ↑ a b c d The Prouhet-Tarry-Escott Problem
- ↑ a b Albert Gloden, Mehrgradige Gleichungen, Noordhoff, Groningen, 1944
- ↑ a b c H. L. Dorwart und O. E. Brown, The Tarry-Escott Problem, Amer. Math. Monthly 44, 1937, S. 613–626
- ↑ a b Loo Keng Hua, Introduction to Number Theory, Springer, 1982
- ↑ E. M. Wright: Prouhet's 1851 solution of the Tarry–Escott problem of 1910. The American Mathematical Monthly 66, 1959, S. 199–201, abgerufen am 14. April 2024.
- ↑ Andreas Alpers, Rob Tijdeman: The Two-Dimensional Prouhet-Tarry-Escott Problem. Journal of Number Theory 123 (2), 2007, S. 403–412, abgerufen am 14. April 2024.