Pumping-Lemma

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Das Pumping-Lemma bzw. Pumplemma (auch Schleifensatz genannt) beschreibt in der theoretischen Informatik eine Eigenschaft bestimmter Klassen formaler Sprachen. In vielen Fällen lässt sich anhand des Lemmas nachweisen, dass eine formale Sprache nicht regulär bzw. nicht kontextfrei ist.

Seinen Namen hat das Lemma vom englischen Begriff to pump, zu deutsch aufpumpen. Es leitet sich davon ab, dass Teile von Wörtern aus Sprachen bestimmter Klassen vervielfacht (aufgepumpt) werden können, so dass die dabei entstehenden Wörter ebenfalls in der Sprache sind.

Man unterscheidet zunächst zwischen dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen und jenem für kontextfreie Sprachen. In der Literatur sind weiterhin Pumping-Lemmata für Erweiterungen der kontextfreien Sprachen anzutreffen. Mächtigere Sprachklassen in der Chomsky-Hierarchie wie die kontextsensitiven Sprachen und auch die wachsend kontextsensitiven Sprachen ermöglichen jedoch kein Pumpinglemma.

Alternativ wird das Lemma bzw. seine Ausprägungen auch als uvw-Theorem, uvwxy-Theorem, Schleifenlemma, Iterationslemma oder Lemma von Bar-Hillel bezeichnet.

Reguläre Sprachen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pumping-Lemma für reguläre Sprachen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede reguläre Sprache gibt es eine natürliche Zahl , sodass gilt: Jedes Wort in mit Mindestlänge hat eine Zerlegung mit den folgenden drei Eigenschaften:

  1. Die beiden Wörter und haben zusammen höchstens die Länge .
  2. Das Wort ist nicht leer.
  3. Für jede natürliche Zahl (mit 0) ist das Wort in der Sprache , d. h. die Wörter , , , usw. sind alle in der Sprache .

Das kleinste , das diese Eigenschaften erfüllt, wird Pumping-Zahl der Sprache genannt.[1]

Neben den regulären Sprachen gibt es auch nicht-reguläre Sprachen, die dieses Lemma erfüllen. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für reguläre Sprachen liefern der Satz von Myhill-Nerode oder Jaffes Pumping-Lemma.

Das Pumping-Lemma enthält mehrere Wechsel zwischen universeller und existentieller Quantifizierung. Diese kann man gut anhand der folgenden formalen Formulierung des Lemmas erkennen. Darin bezeichnet die Menge aller regulärer Sprachen.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gültigkeit des Lemmas basiert darauf, dass es zu jeder regulären Sprache einen deterministischen endlichen Automaten gibt, der die Sprache akzeptiert. Über einem endlichen Alphabet enthält eine reguläre Sprache mit unendlich vielen Wörtern auch solche Wörter, die mehr Zeichen enthalten als der Automat Zustände hat. Zum Akzeptieren solcher Wörter muss der Automat also einen Zyklus enthalten, der dann in beliebiger Häufigkeit durchlaufen werden kann. Die Buchstabenfolge, die beim Durchlaufen des Zyklus gelesen wird, kann also entsprechend beliebig oft in Wörtern der Sprache vorkommen.

Die Idee des Pumping-Lemmas ist, dass ein Wortteil durch einen Zyklus im deterministischen endlichen Automaten beliebig oft wiederholt werden kann.

Der folgende Beweis setzt die Mindestlänge aus dem Lemma mit der Anzahl der Zustände des Automaten gleich und zeigt, dass wegen der Existenz eines Zyklus jedes Wort mit dieser Mindestlänge die geforderte Zerlegung besitzt.

Sei eine reguläre Sprache. Ist endlich, dann gibt es ein Wort mit maximaler Länge . Sei , so ist für alle die Prämisse falsch und die Implikation damit wahr.

Ist unendlich, dann sei ein deterministischer endlicher Automat, der akzeptiert, und sei die Anzahl der Zustände dieses Automaten. Da regulär ist, existiert ein solcher Automat immer.

Sei nun ein beliebiges Wort aus mit mindestens Zeichen, also . Bezeichne mit die Zustandsfolge, die beim Lesen von beginnend mit dem Startzustand durchläuft. Insbesondere gilt . Da in ist, muss von akzeptiert werden, d. h. muss ein Endzustand sein. Da der Automat gerade Zustände hat, muss spätestens nach dem Lesen von Zeichen eine Zustandswiederholung eintreten. Das heißt, es existieren mit . Der Automat durchläuft auf also einen Zyklus.

Sei der Teil von , der beim Durchlaufen des Zyklus gelesen wird. Ferner sei der Teil von , der beim Durchlaufen der davor liegenden Zustandsfolge gelesen wird, und sei der Teil von , der beim Durchlaufen der dahinter liegenden Zustandsfolge gelesen wird. Mit dieser Wahl gilt .

Mit dieser Wahl von , und gelten die Aussagen aus dem Pumping-Lemma:

  1. Die Länge von ist und somit nicht größer als .
  2. Das Wort ist nicht leer, da gilt, so dass beim Durchlauf des Zyklus mindestens ein Zeichen gelesen wird.
  3. Für beliebiges durchläuft der Automat beim Lesen des Worts zunächst die Zustandsfolge , dann -mal den Zyklus und schließlich die Zustandsfolge . Am Ende befindet sich der Automat im Endzustand . Somit gilt für alle .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Sprache regulär?

Angenommen, sei eine reguläre Sprache. Dann gibt es gemäß Pumping-Lemma eine Zahl , so dass sich alle Wörter mit wie beschrieben zerlegen lassen.

Insbesondere gibt es eine Zerlegung mit den beschriebenen Eigenschaften für das Wort . Da ein Präfix dieses Wortes ist und gemäß Eigenschaft 1 höchstens Länge hat, besteht und damit ausschließlich aus Buchstaben . Gemäß Eigenschaft 3 (für ) muss auch das Wort in liegen. Da aber (Eigenschaft 2), enthält dieses Wort mehr als , liegt also nicht in .

Also führt die Annahme, sei eine reguläre Sprache, zum Widerspruch und ist damit falsch.

Eine nicht-reguläre Sprache, die dem Pumping-Lemma genügt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sprache ist nicht regulär. Allerdings erfüllt die Eigenschaften des Pumping-Lemmas, denn jedes Wort lässt sich so zerlegen , dass auch für alle . Dazu kann einfach als erster Buchstabe gewählt werden. Dieser ist entweder ein , die Anzahl von führenden s ist beliebig. Oder er ist ein oder , ohne führende s ist aber die Anzahl von führenden s oder s beliebig.

Jaffes Pumping-Lemma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeffrey Jaffe hat ein verallgemeinertes Pumping-Lemma entwickelt,[2] das äquivalent zur Definition der regulären Sprachen ist. Es ist also eine notwendige und hinreichende Bedingung zum Nachweis der Regularität einer Sprache.

Die Sprache ist regulär genau dann, wenn eine Konstante existiert, so dass es für alle , eine Zerteilung mit gibt, so dass für alle und Suffixe gilt:

.

Kontextfreie Sprachen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede kontextfreie Sprache gibt es eine natürliche Zahl , sodass gilt: Jedes Wort in mit Mindestlänge hat eine Zerlegung mit den folgenden drei Eigenschaften:

  1. Die Wörter , und haben zusammen höchstens die Länge , d. h. .
  2. Eines der Wörter , ist nicht leer. Also .
  3. Für jede natürliche Zahl (mit 0) ist das Wort in der Sprache , d. h. die Wörter , , usw. liegen alle in .

Neben den kontextfreien Sprachen gibt es auch nicht kontextfreie Sprachen, die dieses Pumping-Lemma erfüllen. Die Umkehrung des Lemmas gilt im Allgemeinen also nicht. Eine Verallgemeinerung des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen ist Ogdens Lemma.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform mit Variablen, für die gilt, dass sie gerade die gewünschte Sprache beschreibt. Sei nun ein Wort aus dieser Sprache gegeben, für das gilt: .

Die Idee des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen ist, dass ein Wortteil durch mehrfaches Ableiten derselben Variablen beliebig oft wiederholt werden kann.

Betrachten wir nun einen Ableitungsbaum T für mit Höhe h. Da unsere Sprache in CNF angegeben wurde, hat T die Form eines Binärbaumes. Daraus folgt für die Höhe von T . Es gibt also einen Pfad in T von der Wurzel zu einem Blatt, für den gilt, dass er Länge hat. Es existieren also zwei Knoten auf diesem Pfad mit , welche die gleichen Variablen von G repräsentieren.

Betrachtet man den Teilbaum , welcher von aus aufgespannt wird, so bilden dessen Blätter den Teilstring . Der Teilbaum , welcher von aufgespannt wird, besitzt als Teilbaum den Baum . Man kann also die Blätter von aufteilen in Blätter links von und Blätter rechts von und erhält somit eine Aufteilung der Blätter von der Form . Ebenso unterteilt der Teilbaum den gesamten Ableitungsbaum in drei Teile . Wir erhalten also als Aufteilung die Teilstrings , welche im Ableitungsbaum links bzw. rechts von dem von aufgespannten Teilbaum liegen, die Teilstrings , welche in dem Teilbaum liegen nicht jedoch in , und zu guter Letzt den Teilstring , welcher in liegt. Da und die gleichen Variablen unserer Grammatik repräsentieren, folgt daraus, dass der Pfad von nach beliebig oft wiederholt werden kann. Durch eine Wiederholung des Pfades würden wir Worte der Form erzeugen, ohne unsere Sprache zu verlassen. Womit wir das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen bewiesen hätten.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Wort enthält höchstens zwei verschiedene Buchstaben.

Ist die Sprache kontextfrei?

Wir nehmen an, sei kontextfrei. Sei dann die zugehörige Konstante aus dem Pumping-Lemma.

Wir betrachten das Wort . Es muss dann eine Zerlegung geben, so dass , , für alle ist. Da , enthält das Wort höchstens zwei verschiedene Buchstaben. Deshalb, und da gilt, enthält nicht von allen drei Buchstaben gleich viele, ist also nicht in enthalten. Das ist ein Widerspruch; die Annahme, sei kontextfrei, ist also falsch.

Eine nicht-kontextfreie Sprache, die dem Pumping-Lemma genügt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sprache ist nicht kontextfrei. Allerdings erfüllt die Eigenschaften des Pumping-Lemmas: Enthält ein Wort nicht den Buchstaben , so gilt dies auch für alle Wörter . Ist der Buchstabe hingegen enthalten, gibt es eine Zerlegung mit ( bezeichne das leere Wort), und einem Suffix , sodass abermals alle Wörter in enthalten sind.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Skript (PDF) Humboldt-Universität Berlin
  2. Jeffrey Jaffe: A necessary and sufficient pumping lemma for regular languages. doi:10.1145/990524.990528