Chomsky-Normalform

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Die Chomsky-Normalform (Abk.: CNF) ist in der theoretischen Informatik eine Normalform für kontextfreie Grammatiken. Sie ist nach dem Linguisten Noam Chomsky benannt und kommt beim CYK-Algorithmus zum Einsatz. Eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform hat eine einfache Struktur der Produktionsregeln und erfüllt auch die Eigenschaften kontextsensitiver Grammatiken.

Zu jeder kontextfreien Sprache gibt es eine Grammatik in Chomsky-Normalform. Deshalb kann aus jeder kontextfreien Grammatik eine Chomsky-Normalform konstruiert werden, die dieselbe Sprache erzeugt. Die Grammatik wird dann auch eine Chomsky-Normalform der kontextfreien Grammatik genannt.

Eine weitere Normalform für kontextfreie Grammatiken ist die Greibach-Normalform. Eine Erweiterung der Chomsky-Normalform auf kontextsensitive Grammatiken stellt die Kuroda-Normalform dar. Die Chomsky-Normalform wird auf Grund der gleichen Abkürzung leicht mit der Konjunktiven Normalform (engl. conjunctive normal form) verwechselt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine formale Grammatik ist in Chomsky-Normalform, wenn jede Produktion aus eine der folgenden Formen hat:

wobei , und Nichtterminalsymbole aus sind und ein Terminalsymbol aus ist. ist das Startsymbol und das leere Wort. Wenn die Produktion zur Grammatik gehört, dann darf nicht auf der rechten Seite einer Produktion stehen.

Lässt man bei der ersten Produktion auf der rechten Seite beliebig viele anstatt zwei Nichtterminalsymbole zu, so spricht man von einer schwachen Chomsky-Normalform.

Konstruktion einer Chomsky-Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liegt eine kontextfreie Grammatik vor, so lässt sich daraus schrittweise eine Grammatik in Chomsky-Normalform generieren, die dieselbe Sprache erzeugt:

Ausnahme behandeln
Enthält die Grammatik die Regel , wird ein neues Startsymbol für eingeführt. Anschließend erhält die neue Grammatik die Regeln und . Damit ist sichergestellt, dass die Grammatik weiterhin das leere Wort ermöglicht und das ursprüngliche Startsymbol weiterhin auf der rechten Seite verwendet werden kann.
Eine schwache Chomsky-Normalform erzeugen
Jedem Terminalsymbol wird ein Nichtterminalsymbol zugeordnet. Auf der rechten Seite jeder Produktion werden sämtliche Terminalsymbole durch das entsprechende Nichtterminalsymbol ersetzt. Abschließend werden alle Produktionen der Grammatik hinzugefügt.
Rechte Seiten mit mehr als zwei Nichtterminalen ersetzen
Sind auf der rechten Seite einer Produktion mehr als zwei Nichtterminale, so werden zwei benachbarte Nichtterminale durch ein neues Nichtterminal ersetzt. Die Produktion wird zur Grammatik hinzugefügt. Dies wiederholt man solange, bis keine Produktion mit mehr als zwei Nichtterminalen mehr vorkommt.
-Produktionen entfernen
Streiche die Regeln , außer (falls vorhanden).
Gab es vorher genau eine Produktion mit auf der linken Seite, so streiche das überall auf den rechten Seiten der Produktionen.
Gab es vorher mehrere Produktionen mit auf der linken Seite, so füge für jede Regel, die ein solches auf der rechten Seite enthält, eine Regel hinzu, in der das gestrichen wurde. Die Regel wird dann beispielsweise um die Regel ergänzt.
Kettenregeln (Produktionen der Form A→B) entfernen
Wenn man eine Kettenregel, d. h. eine Produktion der Form , entfernt, fügt man für jede vorhandene Produktion der Form eine neue Produktion hinzu, falls diese keine bereits entfernte Kettenregel ergibt. ist hierbei ein beliebiges Wort; die vorangegangenen Änderungen gewährleisten aber, dass entweder genau ein Terminalsymbol ist oder ein Wort aus genau zwei Nichtterminalsymbolen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt die Grammatik über dem Alphabet mit den Regeln

in Chomsky Normalform zu bringen.  

1. Neue Startvariable hinzufügen

  2. -Übergänge entfernen

  Eine neue -Regel ist entstanden, die wiederum gleich behandelt werden muss:

  3. Alle Einheits-Regeln entfernen. Diese sind und .

  danach

  und zum Schluss

  4. Längere Verkettungen sind nicht erlaubt, deshalb führen wir eine zusätzliche Variable ein und ersetzen durch die Regel und :

  Nun bleiben nur noch die Regel und . Deshalb wird eine weitere Variable verwendet die zusammen mit der Regel das Terminalsymbol in den genannten Regeln ersetzen kann.

  Somit ist die Grammatik in Chomsky Normalform geschrieben.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa: Handbook of Formal Languages. Volume 1: Word, Language, Grammar. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60420-0, S. 124–125