Reguläre Sprache

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In der theoretischen Informatik ist eine reguläre Sprache oder reguläre Menge eine formale Sprache, die einigen Einschränkungen unterliegt. Reguläre Sprachen können von endlichen Automaten erkannt werden und von regulären Ausdrücken beschrieben werden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ob eine Sprache mehr oder weniger eingeschränkt ist, ergibt sich aus ihrer Stellung innerhalb der Chomsky-Hierarchie. Die Klasse der regulären Sprachen entspricht innerhalb der Chomsky-Hierarchie der am meisten eingeschränkten Sprachklasse vom Typ 3. Sie bildet eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprachen. Sie hat in der Informatik eine große praktische Bedeutung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Sprache über einem Alphabet , also eine Menge von Wörtern , heißt dann regulär, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • wird von einer regulären Grammatik erzeugt.
  • wird von einem endlichen Automaten akzeptiert.
  • kann durch einen regulären Ausdruck dargestellt werden.
  • Die auf durch definierte Relation hat endlichen Index (Satz von Myhill-Nerode).
  • kann in der Monadischen Logik 2. Stufe definiert werden

Nachweis der Regularität einer Sprache[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Will man für eine gegebene Sprache nachweisen, dass sie regulär ist, so muss man sie demnach auf eine reguläre Grammatik, einen endlichen Automaten (z. B. einen Moore-Automaten) oder einen regulären Ausdruck oder auf bereits bekannte reguläre Sprachen zurückführen. Für einen Nachweis, dass eine Sprache nicht regulär ist, ist es meistens zweckmäßig, das Pumping-Lemma (= Pumplemma) für reguläre Sprachen zu benutzen oder in schwierigeren Fällen nachzuweisen, dass der Index von nicht endlich ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Alphabet.

  • Alle endlichen Sprachen über , d. h. solche mit , sind regulär.
  • Alle kontextfreien Sprachen über einem unären Alphabet, d. h. solche mit , sind regulär.

Abschlusseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen unter den gewöhnlichen Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement. Darüber hinaus gilt die Abgeschlossenheit auch für die Konkatenation und den sogenannten Kleene-Stern sowie die Differenzmenge. Im Einzelnen gilt also:

  • Die Vereinigung zweier regulärer Sprachen und ist regulär.
  • Der Schnitt zweier regulärer Sprachen und ist regulär.
  • Das Komplement einer regulären Sprache ist regulär.
  • Die Konkatenation zweier regulärer Sprachen und ist regulär.
  • Der Kleene-Stern einer regulären Sprache , d. h. die beliebig häufige Konkatenation von Wörtern aus der Sprache vereinigt mit dem leeren Wort, ist regulär.
  • Die Differenz zweier regulärer Sprachen und ist regulär.[1]

Typische Entscheidungsprobleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien , und gegebene reguläre Sprachen über dem Alphabet . Dann ergeben sich folgende typische Problemstellungen:

  • Wortproblem: Gehört ein Wort zu ?
  • Leerheitsproblem: Ist die leere Menge?
  • Endlichkeitsproblem: Besteht aus einer endlichen Menge von Wörtern?
  • Äquivalenzproblem: Gilt ?
  • Inklusionsproblem: Gilt ?

Alle diese Probleme sind entscheidbar. Bis auf das Äquivalenzproblem und das Inklusionsproblem sind die genannten Probleme auch bei kontextfreien Sprachen (der nach der Chomsky-Hierarchie nächsthöheren Sprachklasse) entscheidbar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Michael Sipser: Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing, Boston u. a. 1997, ISBN 0-534-94728-X, Chapter 1: Regular Languages.
  • Uwe Schöning: Theoretische Informatik – kurzgefasst. 4. Auflage. Spektrum, Heidelberg u. a. 2001, ISBN 3-8274-1099-1, (Spektrum-Hochschultaschenbuch), Kapitel 1.2: Reguläre Sprachen.
  • John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman: Einführung in die Automatentheorie. Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 2. überarbeitete Auflage. Pearson Studium, München 2002, ISBN 3-8273-7020-5, (i - Informatik).
  • Dag Hovland: The Inclusion Problem for Regular Expressions. In: LNCS Language and Automata Theory and Applications. Bd. 6031, 2010, S. 309–320, doi:10.1007/978-3-642-13089-2_26 (PDF).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • REG. In: Complexity Zoo. (englisch)

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Das ergibt sich schon aus den Abschlusseigenschaften von Schnitt und Komplement, da ist.