Umgebung (Mathematik)

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Eine -Umgebung um die Zahl , eingezeichnet auf der Zahlengeraden.

Umgebung ist ein Begriff der Mathematik aus der Topologie, der in vielen Teilgebieten gebraucht wird. Er ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der -Umgebung aus der Analysis und präzisiert das umgangssprachliche Konzept der ‚Umgebung‘ für den mathematischen Gebrauch.

Mathematische Eigenschaften, die auf eine gewisse Umgebung bezogen sind, heißen lokal, im Unterschied zu global.

Umgebungen in metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge ist eine Umgebung des Punkts .
Das Rechteck ist keine Umgebung für irgendeinen Eckpunkt .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem metrischen Raum ergibt sich der Umgebungsbegriff aus der Metrik : Man definiert die sogenannten -Umgebungen. Für jeden Punkt des Raums und jede positive reelle Zahl wird definiert:

Die so definierte -Umgebung von wird auch offene -Kugel um oder offener Ball genannt. Eine Teilmenge von ist nun genau dann eine Umgebung des Punktes , wenn sie eine -Umgebung von enthält.

Äquivalent lässt sich der Umgebungsbegriff in metrischen Räumen auch direkt ohne Verwendung des Begriffes einer -Umgebung definieren:

Eine Menge heißt genau dann Umgebung von , wenn es ein gibt, so dass für alle mit die Eigenschaft erfüllt ist.

Mit Quantoren lässt sich der Sachverhalt auch so ausdrücken:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge der reellen Zahlen wird durch die Definition der Metrik zu einem metrischen Raum. Die -Umgebung einer Zahl ist das offene Intervall .
  • Die Menge der komplexen Zahlen wird ebenso zum metrischen Raum. Die -Umgebung einer Zahl ist die offene Kreisscheibe um vom Radius .
  • Etwas allgemeiner tragen alle -dimensionalen reellen Vektorräume durch den üblichen (von der euklidischen Norm induzierten) Abstandsbegriff eine Metrik. Die -Umgebungen sind hier -dimensionale Kugeln (im geometrischen Sinn) vom Radius . Dies motiviert die allgemeinere Sprechweise von -Kugeln auch in anderen metrischen Räumen.
  • Ein wichtiges Beispiel aus der reellen Analysis: Der Raum der beschränkten Funktionen auf einem reellen Intervall wird durch die Supremumsnorm zu einem metrischen Raum. Die -Umgebung einer beschränkten Funktion auf besteht hier aus allen Funktionen, die punktweise mit einer kleineren Abweichung als approximieren. Anschaulich: Die Schaubilder aller dieser Funktionen liegen innerhalb eines -Schlauches“ um das Schaubild von herum.

Nehme zum Beispiel die folgende Menge :

Menge '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"' mit inneren Punkt '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"' auf der Zahlengeraden

Diese Menge ist eine Umgebung von , weil sie eine Obermenge von für ein ist:

Menge '"`UNIQ--postMath-0000003B-QINU`"' mit innerem Punkt '"`UNIQ--postMath-0000003C-QINU`"' und '"`UNIQ--postMath-0000003D-QINU`"'-Umgebung um '"`UNIQ--postMath-0000003E-QINU`"'

Umgebungen in topologischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein topologischer Raum Zu jedem Punkt gehört die Menge seiner Umgebungen Das sind in erster Linie die offenen Mengen die als Element enthalten. Sie heißen offene Umgebungen von Dazu kommen alle Mengen , die eine offene Umgebung von als Teilmenge enthalten. Damit ist Umgebung von also wenn es eine offene Menge in , also gibt, für die gilt

Die Menge der Umgebungen des Punktes bildet bezüglich der Mengeninklusion einen Filter, den ‚Umgebungsfilter‘ von .

Eine Teilmenge von heißt eine Umgebungsbasis von , oder Basis von wenn jede Umgebung von ein Element von als Teilmenge enthält. So bilden die offenen Umgebungen eines Punktes stets eine Basis seines Umgebungssystems. Ein anderes Beispiele bilden die -Umgebungen eines Punktes in einem metrischen Raum. Ebenso in die Quadrate mit Mittelpunkt und positiver Seitenlänge.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Umgebung der Menge , falls eine offene Menge mit existiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Umgebungen gelten folgende Eigenschaften:[1]

  1. Ist , so gilt . (Jede Umgebung eines Punktes enthält den Punkt.)
  2. Ist und , so ist auch . (Jede Obermenge einer Umgebung eines Punktes ist wieder Umgebung des Punktes.)
  3. Ist und , so gilt auch . (Die Schnittmenge zweier Umgebungen eines Punktes ist wieder Umgebung des Punktes. Damit ist auch die Schnittmenge einer endlichen Menge von Umgebungen eines Punktes wieder Umgebung des Punktes.)
  4. Zu jedem existiert ein , so dass für jedes gilt. (Die Umgebung eines Punktes kann gleichzeitig Umgebung anderer in ihr enthaltener Punkte sein. Im Allgemeinen ist eine Umgebung eines Punktes nicht Umgebung aller in ihr enthaltenen Punkte, sie enthält aber eine weitere Umgebung von , so dass Umgebung aller Punkte in ist.)

Diese vier Eigenschaften werden auch die Hausdorffschen Umgebungsaxiome genannt und bilden die historisch erste Formalisierung des Begriffes des topologischen Raumes.

Denn ordnet man umgekehrt jedem Punkt einer Menge ein die obigen Bedingungen erfüllendes Mengensystem zu, so gibt es eine eindeutig bestimmte Topologie auf , so dass für jedes das System das Umgebungssystem von ist. So erfüllen beispielsweise die oben definierten Umgebungen in metrischen Räumen die Bedingungen 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können denselben Umgebungsbegriff und damit dieselbe Topologie induzieren.

Eine Menge ist in diesem Fall genau dann offen, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz motiviert die Verwendung des Wortes „offen“ für den oben definierten mathematischen Begriff: Jeder Punkt nimmt seine nächsten Nachbarn in die offene Menge mit, keiner steht anschaulich gesprochen „am Rand“ der Menge.)

Punktierte Umgebung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine punktierte Umgebung eines Punktes entsteht aus einer Umgebung , indem man den Punkt entfernt, also

.[2]

Punktierte Umgebungen spielen insbesondere bei der Definition des Grenzwerts einer Funktion eine Rolle, ebenso in der Funktionentheorie bei der Betrachtung von Wegintegralen holomorpher Funktionen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem metrischen Raum sieht eine punktierte -Umgebung folgendermaßen aus:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 20.
  2. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 236 (Mathematische Leitfäden).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]