Quasi-Isometrie

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Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und Geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssätzen.

Definition[Bearbeiten]

Seien (M1,d1) und (M2,d2) zwei metrische Räume. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung f : M1M2 ist eine Quasi-Isometrie, wenn es Konstanten A≥1 und B≥0 gibt, so dass

\frac{1}{A}\; d_1(x,y)-B\leq d_2(f(x),f(y))\leq A\; d_1(x,y)+B\quad\mbox{für alle}\quad x,y\in M_1

sowie eine Konstante C≥0, so dass es für jedes u in M2 ein x in M1 gibt mit

d_2(u,f(x)) \le C.\;

Wenn nur die erste der beiden Bedingungen erfüllt ist, spricht man von einer quasi-isometrischen Einbettung.

Die Räume M1 und M2 heißen quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie f : M1M2 gibt.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Einbettung \Z \to \R ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung f \colon \Z^n \to \R^n ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf \Z^n und \R^n. Man kann in obiger Definition A=1, B=0 und C=1 setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S1, S2 einer Gruppe G zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Shvartz-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe G kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Y wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) G quasi-isometrisch zu Y.

Mit Y=\widetilde{X} erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe \pi_1X einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit X ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung \widetilde{X}.

Literatur[Bearbeiten]