Quasi-Isometrie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssätzen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei metrische Räume. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung ist eine quasi-isometrische Einbettung, wenn es Konstanten und gibt, sodass

.

Die Abbildung heißt quasi-dicht, wenn eine Konstante existiert, sodass es für jedes ein gibt mit

Eine Quasi-Isometrie ist eine quasi-dichte, quasi-isometrische Einbettung.

Zwei Abbildungen haben endlichen Abstand, falls .

Die Räume und heißen quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie gibt.[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf und . Man kann in obiger Definition , und setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen , einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Švarc-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) quasi-isometrisch zu . (Siehe auch Satz von Švarc-Milnor.)

Mit erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
  • Die Verkettung von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
  • Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
  • Zwei metrische Räume und sind genau dann quasi-isometrisch, wenn es quasi-isometrische Einbettungen und gibt, sodass sowohl und als auch und endlichen Abstand haben.[2]

Kategorien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen und .

Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen sind Äquivalenzklassen quasi-isometrischer Einbettungen. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben, und dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung , so ergeben die Definitionen

  • (Wohldefiniertheit!)

eine Kategorie. In dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Äquivalenzklassen von Quasi-Isometrien. Die in dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe eines metrischen Raums heißt dessen Quasi-Isometrie-Gruppe.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Definition 5.1.6
  2. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Proposition 5.1.10
  3. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, 5.1.12 und 5.1.13