Quasi-Isometrie

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Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und Geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssätzen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei metrische Räume. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung ist eine Quasi-Isometrie, wenn es Konstanten und gibt, so dass

sowie eine Konstante , so dass es für jedes ein gibt mit

Wenn nur die erste der beiden Bedingungen erfüllt ist, spricht man von einer quasi-isometrischen Einbettung.

Die Räume und heißen quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie gibt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf und . Man kann in obiger Definition , und setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen , einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Shvartz-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) quasi-isometrisch zu . (Siehe Satz von Švarc-Milnor.)

Mit erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]