Wohldefiniertheit

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Man kann in der Mathematik ein Objekt nicht nur durch eine Definitionsgleichung (explizit), sondern auch durch eine charakteristische Eigenschaft (implizit) definieren.

Insbesondere bei Relationen vom Typ Funktion oder Verknüpfung kommt es vor, dass sie nur »implizit definiert« werden können. Dies geschieht dann dadurch, dass zunächst eine Relation (als Untermenge eines kartesischen Produkts) mit derselben Anzahl von Stellen (explizit) definiert wird. Von dieser Relation wird ausdrücklich behauptet, dass sie von einem spezifischen Typ, bspw. Funktion oder Verknüpfung, ist. Die gesamte »Definition« ist jedoch erst dann vollständig und gültig, wenn ein Beweis für die Behauptung erbracht ist. Man sagt dann: das Objekt (der Begriff) ist (als dieser spezifische Typ) wohldefiniert. Andernfalls spricht man von Mehrdeutigkeit u. Ä., und das Objekt bleibt (bspw. als Funktion oder Verknüpfung) undefiniert.

Einfache Beispiele[Bearbeiten]

  1. „Für alle x\in\mathbb{R}_{\ge 0} ist f_1(x) »definiert« als diejenige Zahl y\in\mathbb{R}_{\ge 0}, für die gilt x = y^2.“
  2. „Für alle x\in\mathbb{R} ist f_2(x) »definiert« als diejenige Zahl y\in\mathbb{R}, für die gilt x = y^2.“
  3. „Für alle x\in\mathbb{R}_{\ge 0} ist f_3(x) »definiert« als diejenige Zahl y\in\mathbb{R}, für die gilt x = y^2.“

Dabei soll es sich um die »Definition« von Funktionen f_1,f_2,f_3 handeln mit angegebener Definitions- und Wertemenge.

Zu 1: Zu jeder Zahl x in der Definitionsmenge \R_{\ge 0} existiert eine (Linkstotalität) und nur eine (Rechtseindeutigkeit) Zahl y in der Wertemenge \R_{\ge 0} mit der Eigenschaft x = y^2. (Die Quadratfunktion von \mathbb{R}_{\ge 0} nach \mathbb{R}_{\ge 0} ist bijektiv.) Die Funktion f_1 ist also wohldefiniert. f_1 ist die Quadratwurzelfunktion.
Zu 2: Die zweistellige Relation f_2 := \{(x,y) \mid x \in \R, y \in \R, x = y^2\} \subseteq \R_{\ge 0} \times \R ist nicht linkstotal. Denn zu x = -1 in der Definitionsmenge \R gibt es kein y \in \R mit -1 = y^2. Die Existenz ist verletzt. Also ist f_2 (als Funktion) nicht wohldefiniert und keine Funktion.
Zu 3: Die zweistellige Relation (x,f_3(x)) \in \R_{\ge 0} \times \R mit x = f_2(x)^2 ist nicht rechtseindeutig, denn zum Beispiel gilt 4 = 2^2 und 4 = (-2)^2. Die Eindeutigkeit ist verletzt. Also ist f_3 (als Funktion) nicht wohldefiniert.

Definition ohne Vorgriff[Bearbeiten]

Die Anführungszeichen bei »definiert« und »Definition« lassen sich vermeiden, wenn man darauf verzichtet, sofort eine Funktion zu definieren. Stattdessen definiert man in einem ersten Schritt nur eine zweistellige Relation – was immer geht. (So geschehen in den Bemerkungen zu den einfachen Beispielen 2 und 3.)

In einem zweiten Schritt weist man nach, dass die so definierte zweistellige Relation die Eigenschaften Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit hat, also eine Funktion ist.[1] Dieser zweite Schritt entspricht genau dem üblichen Überprüfen der Wohldefiniertheit.

Dieselben mathematischen Objekte können also auch ohne den Begriff »wohldefiniert« gebildet werden, womit dieser Begriff sich als in der Mathematik entbehrlich herausstellt.

Gleichwohl ist die Vorwegnahme der Funktionseigenschaft in der »Definition« gängige Praxis, vor allem, weil damit das Objekt der Definition sofort als Funktion bekannt gemacht wird. Und da der Zweck einer »Definition« nicht ihr Misslingen ist, kommt in mathematischen Texten eine Nicht-Wohldefiniertheit nicht vor.

Repräsentantenunabhängigkeit[Bearbeiten]

In der Literatur findet sich häufig die Definition von Wohldefiniertheit als Repräsentantenunabhängigkeit.[2] Vereinzelt wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es keine darüber hinausgehende Bedeutung gibt.[3]

Typischerweise ist die Frage nach der Wohldefiniertheit einer Funktion dann zu stellen, wenn die die Funktion definierende Gleichung nicht (nur) auf die Argumente selbst, sondern (auch) auf Elemente der Argumente Bezug nimmt. Dies ist gelegentlich unvermeidlich, wenn die Argumente Äquivalenzklassen sind. Ein Element einer Äquivalenzklasse wird Repräsentant genannt, und auf einen solchen wird Bezug genommen.

Dies soll an einem Beispiel erläutert werden. Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, schreiben. »Definieren« wir also  f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} : a/b \mapsto a als »Funktion«, die jeder rationalen Zahl ihren Zähler zuordnet.

Nun gilt 1/2 = 2/4, also hätte zu gelten 1 = f(1/2) = f(2/4) = 2, ein Widerspruch! Die »Definition« von f kann also nicht in Ordnung sein. Die »Definition« von f ist nicht wohldefiniert. Sehen wir uns dazu die »Definition« von f genauer an: Der Bruch a/b steht für die Äquivalenzklasse [a/b] aller Paare (x,y), für die ay=xb gilt. Die Definition von f müsste also genauer lauten: Für alle rationalen Zahlen q ist f(q) »definiert« als derjenige Wert x\in \Z für den es ein y\in \N gibt mit [x/y] = q. Die Äquivalenzklasse q ist Argument von f; Bezug genommen wird auf den Repräsentanten x/y \in q. Nun stellt sich heraus, dass es mehrere solcher x/y gibt – für q=[1/2] sind dies zum Beispiel x=1,y=2 oder x=2,y=4. f ist nicht wohldefiniert und die »Definition« ist keine.

Hat ein Element a \in A also mehrere Darstellungen (im Beispiel: 1/2, 2/4, 3/6, …), dann muss eine Funktion  f : A \to B diesem Element einen Wert f(a) zuordnen, der von der Darstellung von a unabhängig ist. Die »Definition« f : \mathbb{Q} \setminus \{0\} \to \mathbb{Q} \setminus \{0\} : a/b \mapsto b/a zum Beispiel erfüllt diese Bedingung.

Für die folgenden zwei mathematischen Konzepte muss die Repräsentantenunabhängigkeit nachgewiesen werden:

Induzierte Abbildungen[Bearbeiten]

Definition der induzierten Abbildung[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei Mengen A_1 und A_2 sowie Äquivalenzrelationen \sim_1 auf A_1 und \sim_2 auf A_2. Mit  [a_1]_1 sei die Äquivalenzklasse \{a \mid a \sim_1 a_1\} des Elements  a_1 \in A_1 bezüglich \sim_1 bezeichnet und entsprechend mit  [a_2]_2 die Äquivalenzklasse des Elements  a_2 \in A_2 bezüglich \sim_2. Die Menge der Äquivalenzklassen {A_1}_{/\sim_1} := \{[a_1]_1 \mid a_1 \in A_1\} heißt Faktormenge von A_1 (nach der Äquivalenzrelation \sim_1).

Hat man nun eine Funktion (oder Abbildung) f : A_1 \to A_2 gegeben, so lässt sich stets eine (zweistellige) Relation \tilde{f} auf dem Paar

{\color{OliveGreen}{A_1}_{/\sim_1}} \times {\color{red}{A_2}_{/\sim_2}}
der Faktormengen gemäß der Vorschrift
\tilde{f} := \{\;(
  {\color{OliveGreen}[a_1]_1} , {\color{red}[f(a_1)]_2}   ) \, \mid \, a_1 \in A_1\}

definieren. Diese Definition ist als Definition einer Relation gültig und vollwertig. Ihr Zweck ist aber (meist) die Definition einer Abbildung. So wird \tilde{f} auch schon die von f induzierte Abbildung genannt, obwohl die Verwendung des Begriffs Abbildung genaugenommen einen Vorgriff auf die noch unbewiesene Wohldefiniertheit darstellt.

Wohldefiniertheit einer induzierten Abbildung[Bearbeiten]

Zunächst ist \tilde{f} nämlich nur eine zweistellige Relation \sube {A_1}_{/\sim_1} \times {A_2}_{/\sim_2}, die genau dann die (restlichen) Forderungen an die (ebenfalls zweistellige Relation der) Funktion oder Abbildung erfüllt, wenn es zu jedem Argumentwert [a_1]_1 nur einen (einzigen) Funktionswert \tilde{f}([a_1]_1) gibt. Hierfür muss gelten:

\forall x, y \in A_1 \quad ([x]_1 = [y]_1 \Longrightarrow [f(x)]_2 = [f(y)]_2).

Genau dann, wenn diese (Repräsentantenunabhängigkeit genannte) Forderung erfüllt ist, wird die induzierte „Abbildung“ \tilde{f} wohldefiniert genannt und ist nicht nur eine Relation, sondern wirklich eine Abbildung.

Beispiele für induzierte Abbildungen[Bearbeiten]

  • Sei A_1 = \Z und A_2 = \{0, 1\}. Als Äquivalenzrelation \sim_1 wählen wir die „Äquivalenz modulo 3“, d. h., es gelte
x\sim_1 y,\quad\mathrm{falls}\quad \frac{x-y}{3}\in\Z\ .
Die Äquivalenzrelation \sim_2 sei die gewöhnliche Gleichheit, also x\sim_2 y\;, falls x = y. (Eine Äquivalenzklasse besteht somit aus genau einem Element.)
Als Funktion wählen wir
f : \Z \to \{0, 1\},\ x \mapsto \begin{cases}
 0, & \text{wenn }x\text{ gerade,}\\
 1, & \text{wenn }x\text{ ungerade.}
\end{cases}
Die induzierte »Abbildung« ist dann
 \tilde{f} : \Z_{/\sim_1} \to \{0, 1\}_{/\sim_2}, \ [x]_1 \mapsto [f(x)]_2 = \begin{cases}
 [0]_2, & \text{wenn }x\text{ gerade,}\\
 {[}1{]}_2, & \text{wenn }x\text{ ungerade.}
\end{cases}
Es gilt nun \tilde{f}([5]_1) = [1]_2 = \{1\} \neq \{0\} = [0]_2 = \tilde{f}([8]_1), obwohl [5]_1 = [8]_1. In diesem Fall ist also die »induzierte Abbildung« \tilde{f} nicht wohldefiniert und keine Abbildung.
  • Sei A_1 = A_2 = \R. Die Äquivalenzrelation \sim_1 sei erklärt durch
x\sim_1 y,\quad\mathrm{falls}\quad \frac{x-y}{2\pi}\in\Z\ ,
und \sim_2 sei wieder die gewöhnliche Gleichheit. Der reelle Kosinus induziert nun die Abbildung
\tilde{f}: \R_{/\sim_1} \to \R_{/\sim_2}, [x]_1 \mapsto [\cos(x)]_2.
Diese Abbildung ist wohldefiniert, wie man folgendermaßen zeigt: Seien x, y \in \R mit der Eigenschaft [x]_1 = [y]_1. Gemäß der Definition von \sim_1 existiert nun ein k \in \Z mit x = y + k \cdot 2\pi, und deshalb folgt \tilde{f}([x]_1) = \cos(x) = \cos(y + k \cdot 2\pi) = \cos(y) = \tilde{f}([y]_1), wobei wir die Tatsache verwendet haben, dass der Kosinus eine Periode von 2\pi besitzt.

Induzierte Verknüpfung[Bearbeiten]

Definition der induzierten Verknüpfung[Bearbeiten]

Sei A eine nichtleere Menge mit einer Äquivalenzrelation \sim und einer inneren Verknüpfung * \colon A\times A \to A . Mithilfe * kann man auf der zugehörigen Faktorstruktur die dreistellige Relation


  \begin{array}{rcccccl}
   & A_{/\sim} & \times & A_{/\sim} & \times & A_{/\sim} \\
   \tilde{*} := \{( & [a] & , & [b] & , & [a * b] & ) \mid a,b \in A \}
  \end{array}

definieren. Im Vorgriff auf die noch zu beweisende Wohldefiniertheit wird \tilde{*} die durch * auf der Faktorstruktur induzierte Verknüpfung genannt.

Wohldefiniertheit für induzierte Verknüpfungen[Bearbeiten]

Damit diese Relation wirklich eine Verknüpfung ist, darf das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten in einer Klasse abhängen. Das heißt, es muss für alle  a_1, a_2, b_1, b_2 \in A mit der Eigenschaft a_1 \sim a_2,\;b_1 \sim b_2 gelten:

a_1*b_1 \sim a_2*b_2\ .

Ist dies der Fall, ist die induzierte Verknüpfung \tilde{*} eine (wirkliche) Verknüpfung (der man die Eigenschaft der Wohldefiniertheit zuspricht).

Beispiele für induzierte Verknüpfungen[Bearbeiten]

  • Die Verknüpfung p: \Z/3\Z \times \Z/3\Z \to \Z/3\Z, gegeben durch p([a],[b]) := [ {|a|} ^ {|b|} ], ist nicht wohldefiniert: Es gilt [5] = [2] und [3] = [6], aber
p([5],[3]) = [5^3] = [125] = [3\cdot 41+2] = [2] \neq [1] = [3\cdot 21+1] = [64] = [2^6] = p([2],[6])\ .
  • Betrachte die symmetrische Gruppe S_3 = \{id, (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)\} und darin die Untergruppe U := \{id, (1,2)\}. Die auf der Faktormenge S_3 / U induzierte Verknüpfung ist nicht wohldefiniert. Es ist [id] = [(1,2)] und selbstverständlich [(1,3,2)]=[(1,3,2)], aber
[(1,2)*(1,3,2)] = [(1,3)] \neq [(1,3,2)] = [id*(1,3,2)].
  • Die Addition und die Multiplikation in einem Restklassenring  \Z / n\Z (n \in \mathbb{N}) sind wohldefiniert. Die Restklassen-Addition ist gerade die von der Addition in \Z und dem Normalteiler n\Z induzierte Verknüpfung.
  • Ist  N ein Normalteiler der Gruppe  G , dann ist die auf  G/N induzierte Verknüpfung wohldefiniert, und  G/N heißt Faktorgruppe von  G nach  N . Die Eigenschaft, Normalteiler zu sein, ist sogar äquivalent dazu, dass die induzierte Verknüpfung auf der Faktormenge  G/N wohldefiniert ist. Denn seien  g_1, g_2 \in G und  n_1, n_2 \in N beliebig. Für die Wohldefiniertheit der induzierten Gruppenverknüpfung auf den Linksnebenklassen muss gelten:
 [g_1*n_1] \; \tilde{*} \; [g_2*n_2] = [g_1*g_2]\ ,
also  g_2*n_2*g_2^{-1} \in N . Dies entspricht aber der Definition 2 des Normalteilers. Dasselbe Ergebnis erhält man bei den Rechtsnebenklassen.

Notationelle Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

Für reelle Zahlen gilt die Schreibweise  a b c für das Produkt  (a b) c = a (b c) als »wohldefiniert«, da die Multiplikation das Assoziativgesetz erfüllt, somit jedwede Klammersetzung – also die Reihenfolge der Multiplikationen zweier Nachbarn – zum selben Ergebnis führt, die Klammern also weggelassen werden können. Dies gilt auch für die in der Multiplikation nicht kommutativen Quaternionen.

Die Subtraktion ist nicht assoziativ. Dennoch gilt  a -b -c vermöge der Zusatzdefinition  -b := +(-b) als »wohldefiniert«.

Für reelle Zahlen  x und  y \neq 0 ist die Schreibweise  \frac x y für den Quotienten  x y^{-1} = y^{-1} x  »wohldefiniert«. Für die in der Multiplikation nicht kommutativen Quaternionen gilt diese Notation nicht als »wohldefiniert«.

Bei Notationen lässt sich jedoch durch zusätzliche Regeln für Präzedenz, Rangfolge und Assoziativität der Operatoren immer Eindeutigkeit erzielen. In der Programmiersprache C ist bspw. der Operator - für die Subtraktion links-nach-rechts-assoziativ, d. h. a-b-c = (a-b)-c, und der Operator = für die Zuweisung rechts-nach-links-assoziativ, d. h. a=b=c = a=(b=c). In der Programmiersprache APL gibt es nur eine Rangfolgeregel: Zuerst werden die Klammern, dann der Rest von rechts nach links abgearbeitet.

Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit[Bearbeiten]

In einem weiteren Sinn wird Wohldefiniertheit auch auf andere Bereiche ausgedehnt. Sie bezeichnet dann eine sinnvolle und widerspruchsfreie Definition. Synonym für „nicht wohldefiniert“ in diesem Sinn werden auch „nicht definiert“ oder „nicht vollständig definiert“ gebraucht.

Definitionsbereich einer Funktion[Bearbeiten]

Im Definitionsbereich der Abbildung  f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto\frac{1}{x} darf die Null nicht im Definitionsbereich enthalten sein, da sie für  x=0 den Wert  f(0)=\frac{1}{0} liefert. Durch Null zu teilen ist in den reellen Zahlen allerdings nicht erklärt, d. h. es gibt keine reelle Zahl „1/0“. (In einem erweiterten Sinne könnte man zwar 1/0 := \infty setzen. Das tut dem Beispiel aber nichts, da \infty keine reelle Zahl ist! Zudem müsste man \infty und -\infty miteinander identifizieren, da f(x) für x\nearrow 0 gegen -\infty divergiert.)

Ebenso ist es in den reellen Zahlen nicht erklärt, die Quadratwurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Anders gesagt ist die „Funktion“  f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x} nicht wohldefiniert, die Funktion  f : \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x} hingegen schon.

Wertebereich einer Funktion[Bearbeiten]

Schreibt man die Formel  f(x) = 2x als „Funktion“  f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, x \mapsto 2 \cdot x, so wird dem Wert x=-2 zwar der Wert f(-2)=-4 zugeordnet. Das ist in diesem Fall aber nicht zulässig, da -4 keine natürliche Zahl ist und somit nicht im Wertebereich liegt.

Verknüpfungen bei Gruppen[Bearbeiten]

Innere Verknüpfungen einer algebraischen Struktur  G (z. B. einer Gruppe) sind ebenfalls Funktionen (meist mit zwei Argumenten). Für sie gelten also dieselben Bedingungen: Die Verknüpfung von Elementen der Struktur  G muss ein eindeutig bestimmtes Element von  G ergeben. Hier wird oft fälschlicherweise der Ausdruck Abgeschlossenheit benutzt, welcher sich aber auf die Definition von Unterstrukturen bezieht.

Wohldefiniertheit von Mengen[Bearbeiten]

Eine Menge ist wohldefiniert, wenn das Definiens für jedes beliebige Objekt eindeutig festlegt, dass es entweder Element der Menge ist oder nicht Element der Menge ist. Insbesondere werden so gewisse Formen imprädikativer Definitionen ausgeschlossen.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Analog definiert man eine Funktion D_1 \times \dotsb \times D_n \to W mit n Argumenten zunächst als (n+1)-stellige Relation R \sube D_1 \times \dotsb \times D_n \times W und bezieht Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit auf das Paar (D_1 \times \dotsb \times D_n) \times W.
  2. Serge Lang: Algebra. 3. Auflage. 1993, S. X (Prerequisites).
  3. Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A trivial! Braunschweig 1997, S. 9.

Weblinks[Bearbeiten]