Quasigeodäte

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In der Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) in Differentialgeometrie, metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt sich um Kurven, die nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, aber deren Länge nur auf kontrollierte Weise von der der kürzesten Verbindungen abweicht.

Definition[Bearbeiten]

Es sei (X,d) ein metrischer Raum und I\subset \R ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung

c\colon I\to X

ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten \lambda,\epsilon>0 gibt, so dass für alle s,t\in I gilt:

\frac{1}{\lambda} |s-t| -\epsilon  \le d(c(s),c(t))\le \lambda |s-t| +\epsilon.

Mit anderen Worten: c\colon I\to X ist eine quasi-isometrische Einbettung.

Beispiele[Bearbeiten]

Genauer: Wenn c eine Quasigeodäte ist und d(c(t),c^\prime(t))<K für eine Konstante K und alle t\in I gilt, dann ist c^\prime eine Quasigeodäte.
  • Wenn c\colon I\to X eine Quasigeodäte und f\colon X\to Y eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist f\circ c eine Quasigeodäte.

Morse-Lemma[Bearbeiten]

Es sei (X,d) ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte c\colon\left[a,b\right]\to X endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte c^\prime durch c(a) und c(b).

Genauer: Zu allen \lambda,\epsilon, \delta gibt es ein R(\lambda,\epsilon,\delta), so dass jede (\lambda,\epsilon)-Quasigeodäte in einem \delta-hyperbolischen Raum im Abstand <R von einer Geodäten liegt.

Insbesondere, wenn X \delta-hyperbolisch und c stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle x\in im(c^\prime)

d(x,im(c))\le\delta |\log_2 l(c)|+1,

wobei l(c) die Länge von c bezeichnet.

Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im \R^2.

Literatur[Bearbeiten]

  • Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre: Quasi-isométries et quasi-géodésiques. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), 79–102, Progr. Math., 83, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.

Weblinks[Bearbeiten]