Quasigeodäte

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In der Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) in Differentialgeometrie, metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt sich um Kurven, die nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, aber deren Länge nur auf kontrollierte Weise von der der kürzesten Verbindungen abweicht.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein metrischer Raum und ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung

ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten gibt, so dass für alle gilt:

.

Mit anderen Worten: ist eine quasi-isometrische Einbettung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Im oder allgemeiner in jeder einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist eine Geodäte immer eine Quasigeodäte.
  • Die logarithmische Spirale ist eine Quasigeodäte, denn es gilt .
  • Kontrollierte Störungen einer Quasigeodäten sind wieder Quasigeodäten, mit einer evtl. anderen Konstanten .
Genauer: Wenn eine Quasigeodäte ist und für eine Konstante und alle gilt, dann ist eine Quasigeodäte.
  • Wenn eine Quasigeodäte und eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist eine Quasigeodäte.

Morse-Lemma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte durch und .

Genauer: Zu allen gibt es ein , so dass jede -Quasigeodäte in einem -hyperbolischen Raum im Abstand von einer Geodäten liegt.

Insbesondere, wenn -hyperbolisch und stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle

,

wobei die Länge von bezeichnet.

Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre: Quasi-isométries et quasi-géodésiques. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), 79–102, Progr. Math., 83, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]