Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Ist $D\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $D_{f}$ isoliert in $D$ und $f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C}$ holomorph, so existiert zu jedem Punkt $a\in D$ eine punktierte Umgebung $U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset \subset D$, die relativ kompakt in $D$ liegt, mit $f|_{U}$ holomorph. Diesenfalls besitzt $f$ auf $U$ eine Laurententwicklung $f|_{U}(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$. Dann definiert man für das Residuum von $f$ in $a$

$\operatorname {Res} _{a}f(z):=a_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f$.

Nach dem Cauchyschen Integralsatz verschwindet das Residuum, wenn $f$ in $a$ holomorph ist. An der Integraldarstellung erkennt man insbesondere, dass man eigentlich vom Residuum der Differentialform $f(z)\mathrm {d} z$ sprechen sollte. Dies wird beispielsweise auch dann klar, wenn $\infty$ eine isolierte Singularität von $f$ ist, denn dann definiert man

$\operatorname {Res} _{\infty }f(z):=\operatorname {Res} _{0}-{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)$.

Beachte hierbei, dass mit $w={\frac {1}{z}}$ gilt: $f(w)\mathrm {d} w=f\left({\frac {1}{z}}\right)\mathrm {d} {\frac {1}{z}}=-{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)\mathrm {d} z$

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen $f,g$ im Punkt $a\in \mathbb {C}$ in der Praxis verwendet werden:

• Das Residuum ist $\mathbb {C}$-linear, d.h. für $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$ gilt: $\operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f(z)+\mu g(z)\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f(z)+\mu \operatorname {Res} _{a}g(z)$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}f(z)=\lim \limits _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}g(z)f(z)=g(a)\operatorname {Res} _{a}f(z)$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}f(z)={\frac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim \limits _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}(z-a)^{n}f(z)$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\frac {1}{f(z)}}={\frac {1}{f'(a)}}$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\frac {g(z)}{f(z)}}={\frac {g(a)}{f'(a)}}$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$-ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\frac {f'(z)}{f(z)}}=n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$-ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=g(a)n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\frac {f'(z)}{f(z)}}=-n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=-g(a)n$.

Die Regeln über die logarithmische Ableitung ${\frac {f'}{f}}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

• Wie bereits erwähnt, ist $\operatorname {Res} _{a}f(z)=0$, wenn $f$ in $a$ holomorph ist.
• Ist $f(z)={\frac {1}{z}}$, so hat $f$ in $0$ einen Pol 1. Ordnung, und es ist $\operatorname {Res} _{0}f(z)=1$.
• $\operatorname {Res} _{1}{\frac {z}{z^{2}-1}}={\frac {1}{2}}$, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn $z\mapsto z^{2}-1$ hat in $1$ eine Nullstelle 1. Ordnung.
• Die fortgesetzte Gammafunktion hat in $-n$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist $\operatorname {Res} _{-n}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$.

Algebraische Sichtweise

Es seien $k$ ein Körper und $X$ eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über $k$. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $x\in X$ eine kanonische Abbildung

$\operatorname {res} _{x}\colon \Omega _{k(X)/k}\to k,$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in $x$ zuordnet.

Ist $x$ ein $k$-rationaler Punkt und $t$ eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist $\omega$ eine meromorphe Differentialform und $\omega =f\,\mathrm {d} t$ eine lokale Darstellung, und ist

$f=\sum _{k=-N}^{\infty }a_{k}t^{k}$

die Laurentreihe von $f$, so gilt

$\operatorname {res} _{x}\omega =a_{-1}.$

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall $k=\mathbb {C}$ mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform $\omega$ ist die Summe der Residuen null:

$\sum _{x\in X}\operatorname {res} _{x}\omega =0.$

Literatur

• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.