Residuum (Funktionentheorie)

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In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplexe Gebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Gebiet, isoliert in und holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt eine punktierte Umgebung , die relativ kompakt in liegt, mit holomorph. In diesem Fall besitzt auf eine Laurententwicklung . Dann definiert man für das Residuum von in

.

Riemannsche Zahlenkugel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel erweitern. Sei wieder eine diskrete Menge in und eine holomorphe Funktion. Dann ist für alle mit das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt. Für setzt man

wobei ein Kreis mit hinreichend großem Radius ist, der im Uhrzeigersinn orientiert ist, und ist wie oben der -1. Koeffizient der Laurentreihe.

Eigenschaften und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei ein Gebiet und eine holomorphe Funktion in . Dann kann der cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von in null ist.
  • An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform sprechen kann.
  • Es gilt der Residuensatz.
  • Für rationale Funktionen gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation: . Dabei ist die Menge aller Pole von und die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen im Punkt in der Praxis verwendet werden:

  • Das Residuum ist -linear, d.h. für gilt:
  • Hat in eine Polstelle 1. Ordnung, gilt:
  • Hat in eine Polstelle 1. Ordnung und ist in holomorph, gilt:
  • Hat in eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt:
  • Hat in eine Nullstelle 1. Ordnung und ist in holomorph, gilt:
  • Hat in eine Polstelle -ter Ordnung, gilt:
  • Hat in eine Nullstelle -ter Ordnung, gilt: .
  • Hat in eine Nullstelle -ter Ordnung und ist g in holomorph, gilt: .
  • Hat in eine Polstelle -ter Ordnung, gilt: .
  • Hat in eine Polstelle -ter Ordnung und ist g in holomorph, gilt: .
  • Ist das Residuum am Punkt zu berechnen, so gilt . Denn mit gilt

Die Regeln über die logarithmische Ableitung sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wie bereits erwähnt, ist , wenn auf einer offenen Umgebung von holomorph ist.
  • Ist , so hat in einen Pol 1. Ordnung, und es ist .
  • , wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn hat in eine Nullstelle 1. Ordnung.
  • Die fortgesetzte Gammafunktion hat in für Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist .

Algebraische Sichtweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Körper und eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über . Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt eine kanonische Abbildung

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in zuordnet.

Ist ein -rationaler Punkt und eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist eine meromorphe Differentialform und eine lokale Darstellung, und ist

die Laurentreihe von , so gilt

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform ist die Summe der Residuen null:

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.