Sätze von Cohen-Seidenberg

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Sätze von Cohen-Seidenberg, benannt nach Irvin Cohen und Abraham Seidenberg, sind zwei Sätze aus dem mathematischen Gebiet der kommutativen Algebra. Sie sind auch als Going up und Going down bekannt und befassen sich mit Primideal-Ketten in Ringerweiterungen.

Situation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Ringerweiterung zweier kommutativer Ringe mit demselben Einselement. Sind und Primideale, so sagt man liege über , falls .

Ist ein Primideal, so ist ein Primideal in und liegt über . Ist eine Primidealkette mit echten Inklusionen in , so ist eine Primidealkette mit echten Inklusionen in . Hier gehen wir der Frage nach, ob man umgekehrt Primidealketten in zu solchen nach "heben" kann, so dass die Primideale der Kette in über denen der gegebenen Kette in liegen. Dazu muss man zunächst einmal sicherstellen, dass über den Primidealen in stets Primideale aus liegen.

Betrachtet man etwa die Ringerweiterung und ist eine Primzahl, so ist das erzeugte Hauptideal ein Primideal und es gibt kein Primideal in , das über liegt. Handelt es sich bei aber um eine ganze Ringerweiterung, so kann man zeigen, dass über jedem Primideal aus stets ein Primideal aus liegt.[1]

Ist also eine ganze Ringerweiterung und eine Primidealkette in , so kann man für jedes ein über liegendes Primideal finden. Es stellt sich nun die Frage, ob man die auch so wählen kann, dass sie eine aufsteigende Kette bilden. Genau diese Frage beantworten die Sätze von Cohen-Seidenberg.

Going up[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine ganze Ringerweiterung, eine Primidealkette in und das Primideal liege über :

Dann gibt es über den liegende Primideale , , die eine aufsteigende Kette bilden[2] :

Going down[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beginnt man in der Situation des Going up-Satzes statt mit einem über liegenden Primideal mit einem über liegenden, so benötigt man für eine analoge Aussage zusätzliche Voraussetzungen:

Es sei eine ganze Ringerweiterung von Integritätsringen mit normalem , sei eine Primidealkette in und das Primideal liege über :

Dann gibt es über den liegende Primideale , , die eine aufsteigende Kette bilden[3][4] :

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primidealketten spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Dimension eines Ringes. Aus dem Going up-Satz ergibt sich sofort für eine ganze Ringerweiterung . Der Going down-Satz kann verwendet werden, um

zu zeigen, wobei der Polynomring in Unbestimmten über dem Körper ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.10 a
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Korollar II.2.12
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.16
  4. Jean-Pierre Serre: Local Algebra, Springer (2000), ISBN 3540666419, III Proposition 5