Primideal

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In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal Primideal oder prim, falls echt ist, also , und wenn für alle Ideale gilt:[1]

Aus folgt oder

Außerdem heißt vollständiges Primideal oder vollprim, falls echt ist und wenn für alle gilt:

Aus folgt oder

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein zweiseitiges Ideal ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle gilt:
Aus (für alle gilt ) folgt ( oder ).
  • Ein zweiseitiges Ideal ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring nullteilerfrei ist.

Spektrum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings heißt Spektrum von und wird mit notiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In kommutativen Ringen mit Einselement gilt:

  • Ein Element ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.[2]
  • Ein Ideal ist genau dann prim, wenn der Faktorring ein Integritätsring ist.
  • Enthält ein Primideal einen Durchschnitt von endlich vielen Idealen von , so enthält es auch eines der Ideale .
  • Ein Ideal ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach , worunter man den Ring versteht, den man auch als schreibt.[3]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
  • Die Menge der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
  • Im Ring ist das maximale Ideal kein Primideal.
  • Ein maximales Ideal eines Ringes ist genau dann prim, wenn . Insbesondere ist prim, falls ein Einselement enthält.
  • Das Nullideal in einem kommutativen Ring ist genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsbereich ist.
  • In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
  • Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal.

Lying Over und Going Down[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei stets ein kommutativer Ring und eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal ein Primideal , so dass über liegt, d.h.

.

In diesem Fall sagt man auch, dass die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem eine Einbettung von in , so ist die von induzierte Abbildung mit surjektiv.

Des Weiteren erfüllt die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: ist

eine Kette von Primidealen in und

eine Kette von Primidealen in mit , so dass außerdem über liegt für alle , so lässt sich letztere zu einer Kette

ergänzen, so dass jedes über liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn Integritätsringe sind und ganzabgeschlossen ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
  2. K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN= 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, §4, Beispiel d) hinter Satz 3.5