Satz vom primitiven Element

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Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element mit , wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation[1] von Abel aus dem Jahre 1829.[2]

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt zwei Sätze, die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden, wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist.[3][4]

  • Eine Körpererweiterung ist einfach, wenn von der Form mit einem über algebraischen Element und über separablen Elementen ist.
  • Jede endliche separable Körpererweiterung ist einfach.

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere sind endliche Galois-Erweiterungen von dieser Form und daher einfach. Ist eine solche Erweiterung, so ist ein Element der Galoisgruppe, das heißt ein -Automorphismus von , bereits eindeutig durch den Wert bestimmt. Daher resultiert die Bedeutung dieses Satzes in der Galoistheorie.[5]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Niels Henrik Abel: Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement, J. reine angew. Math. Band 4 (1829), Seiten 131-156
  2. Helmut Koch: Einführung in die klassische Mathematik I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Kap. 7.5: Der Satz vom primitiven Element
  3. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 259–260
  4. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.17
  5. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 7.2: Bestimmung einiger Galois-Gruppen