Satz von Bott-Samelson
In der Mathematik ist der Satz von Bott-Samelson ein Lehrsatz aus der algebraischen Topologie, mit dessen Hilfe man die Homologie von Schleifenräumen berechnen kann.
Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein wegzusammenhängender Raum, seine Einhängung und der Schleifenraum der Einhängung. Wir bezeichnen mit die adjungierte Abbildung zur Identitätsabbildung .
Sei ein Hauptidealring, so dass die Homologie torsionsfrei ist. Wir bezeichnen mit die reduzierte Homologie.
Dann wird durch die Abbildung
für die erzeugte Tensoralgebra ein Isomorphismus von Algebren
induziert.
Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für die Sphäre hat die reduzierte Homologie einen Erzeuger in Grad und ist in allen anderen Graden trivial. Mit dem Satz von Bott-Samelson ist dann wegen also die Homologie von als Algebra isomorph zu der von einem Element in Grad erzeugten Tensoralgebra.
Insbesondere ist für alle und für alle .
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- T. Cutler: The Bott-Samelson Theorem