Algebra über einem kommutativen Ring

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder R-Algebra (wobei R ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Sei R ein kommutativer Ring, A ein R-Modul und

 \cdot: A\times A\to A,

eine zweistellige Verknüpfung über A, genannt „Multiplikation“.

Das Paar (A,\cdot) heißt „R-Algebra“, wenn die Multiplikation \cdot bilinear ist, d.h. für beliebige Elemente x,y,z\in A und Ringelemente \lambda\in R gilt:

  •  (x+y)\cdot z = xz + yz,
  •  x\cdot(y+z) = xy + xz,
  •  \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y).

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines Einselements der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt.

Spezielle Definition[Bearbeiten]

Sei R ein kommutativer Ring. Eine R-Algebra ist ein Tupel (A,\alpha). Dabei ist A ein kommutativer unitärer Ring und \alpha\colon
R\rightarrow A ein Ringhomomorphismus.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Eine so definierte R-Algebra A kann als R-Modul aufgefasst werden vermöge r\cdot a:=\alpha(r)\cdot a
  • Eine R-Algebra A heißt endlich wenn sie aufgefasst als R-Modul endlich erzeugt ist
  • Eine R-Algebra A heißt endlich erzeugt wenn es für ein n\geq0 einen surjektiven Algebrenhomomorphismus R[X_1,\ldots,X_n]\longrightarrow A gibt

Algebrenhomomorphismus[Bearbeiten]

Ein R-Algebrenhomomorphismus f von (A,\alpha) nach (B,\beta) ist ein Ringhomomorphismus von A nach B für den gilt, dass f\circ\alpha=\beta

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jeder Ring ist eine \mathbb Z-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring \mathbb Z der ganzen Zahlen.
  • Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
  • Der Polynomring R[X] über einem Ring R ist eine endlich erzeugte, aber nicht endliche R-Algebra.

Literatur[Bearbeiten]