Algebra über einem kommutativen Ring

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Als Algebra über einem kommutativen Ring oder -Algebra (wobei ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und

eine zweistellige Verknüpfung auf , genannt „Multiplikation“.

Das Paar heißt „-Algebra“, wenn die Multiplikation bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente und jedes Ringelement gilt:

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt.

Algebrenhomomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein -Algebrenhomomorphismus von nach ist ein R-Modulhomomorphismus, für den zusätzlich gilt, dass für alle ist.

Spezielle Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kommutativer Ring. Eine -Algebra ist ein Tupel . Dabei ist ein unitärer Ring und ein Ringhomomorphismus ins Zentrum von .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede so definierte -Algebra kann als -Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als setzt. Dagegen lässt sich nicht jede -Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
  • Ferner kann jede so definierte -Algebra auch als -Bimodul aufgefasst werden vermöge .
  • Eine -Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als -Modul endlich erzeugt ist.
  • Eine -Algebra heißt endlich erzeugt, wenn es für ein einen surjektiven Algebrenhomomorphismus gibt.

Algebrenhomomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen -Algebrenhomomorphismus von nach als einen Ringhomomorphismus von nach , für den zusätzlich gilt, dass ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Ring ist eine -Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen.
  • Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
  • Der Polynomring über einem Ring ist eine endlich erzeugte, aber nicht endliche -Algebra (sofern nicht der Nullring ist).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]