Satz von Isserlis

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Der Satz von Isserlis, auch Wicks Lemma oder Wicks Formel genannt, ist eine kombinatorische Formel um multivariate Produktmomente eines Gaußschen Vektors zu berechnen. In der Quantenfeldtheorie existiert ein Spezialfall des Theorems unter dem Namen Wicks Theorem.[1]

Das Theorem ist nach Leon Isserlis und Gian-Carlo Wick benannt. Die im Artikel behandelte leichte Verallgemeinerung des Resultates stammt von C. S. Withers, jedoch sind beide Sätze unter dem Namen Satz von Isserlis verbreitet.[2]

Wir nennen eine Partition eine Paar-Partition, wenn sie nur aus Paaren besteht: . Mit bezeichnen wir den Raum aller Paar-Partitionen einer diskreten Menge . Mit notieren wir die Menge der Indizes , so dass die Paare in der Form sind.

Der verallgemeinerte Satz von Isserlis lässt im Gegensatz zur klassischen Variante auch mehrmaliges Vorkommen desselben Indexes zu.

Verallgemeinerter Satz von Isserlis

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Sei mit und ein zentrierter Gaußscher Vektor, dann gilt

und für gilt stets

.

Satz von Isserlis

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Für und den zentrierten Gaußschen Vektor erhält man den klassischen Satz von Isserlis

.

Sei und , dann gibt es drei mögliche Paar-Partitionen und es gilt

Für gilt aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um ihren Erwartungswert

Einzelnachweise

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  1. G.C. Wick: The evaluation of the collision matrix. In: Physical Review. 80. Jahrgang, Nr. 2, 1950, S. 268–272.
  2. C. S. Withers: The moments of the multivariate normal. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Nr. 32, 1985, S. 103–107, doi:10.1017/S000497270000976X.