Der Satz von Isserlis, auch Wicks Lemma oder Wicks Formel genannt, ist eine kombinatorische Formel um
multivariate Produktmomente eines Gaußschen Vektors zu berechnen. In der Quantenfeldtheorie existiert ein Spezialfall des Theorems unter dem Namen Wicks Theorem.[1]
Das Theorem ist nach Leon Isserlis und Gian-Carlo Wick benannt. Die im Artikel behandelte leichte Verallgemeinerung des Resultates stammt von C. S. Withers, jedoch sind beide Sätze unter dem Namen Satz von Isserlis verbreitet.[2]
Wir nennen eine Partition eine Paar-Partition, wenn sie nur aus Paaren besteht:
. Mit
bezeichnen wir den Raum aller Paar-Partitionen einer diskreten Menge
. Mit
notieren wir die Menge der Indizes
, so dass die Paare in
der Form
sind.
Der verallgemeinerte Satz von Isserlis lässt im Gegensatz zur klassischen Variante auch mehrmaliges Vorkommen desselben Indexes zu.
Sei
mit
und
ein zentrierter Gaußscher Vektor, dann gilt
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\prod \limits _{\alpha _{i}\in A}X_{\alpha _{i}}\right]=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {P}}_{2}(A)}\prod \limits _{i\in A/\sigma }\operatorname {Cov} \left[X_{\alpha _{i}}X_{\alpha _{\sigma (i)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e70a4491e07c249290151a2099acb460297814c)
und für
gilt stets
.
Für
und den zentrierten Gaußschen Vektor
erhält man den klassischen Satz von Isserlis
.
Sei
und
, dann gibt es drei mögliche Paar-Partitionen und es gilt
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\prod \limits _{\alpha _{i}\in A}X_{\alpha _{i}}\right]=\operatorname {Cov} [X_{1}X_{1}]\,\operatorname {Cov} [X_{4}X_{5}]+\operatorname {Cov} [X_{1}X_{5}]\,\operatorname {Cov} [X_{1}X_{4}]+\operatorname {Cov} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {Cov} [X_{1}X_{5}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937b093aba52902ec533ea00133869824b69eda3)
Für
gilt aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um ihren Erwartungswert
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X_{1}X_{2}X_{3}\right]=\mathbb {E} \left[(-X_{1})(-X_{2})(-X_{3})\right]=-\mathbb {E} \left[X_{1}X_{2}X_{3}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d10cf33bda8b94dc9d50dff225580cf8261dd3)
- ↑ G.C. Wick: The evaluation of the collision matrix. In: Physical Review. 80. Jahrgang, Nr. 2, 1950, S. 268–272.
- ↑ C. S. Withers: The moments of the multivariate normal. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Nr. 32, 1985, S. 103–107, doi:10.1017/S000497270000976X.