Satz von Myers-Steenrod

Der Satz von Myers-Steenrod ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie.

Er besagt, dass die Isometriegruppe jeder vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine Lie-Gruppe ist. Ihre Dimension ist höchstens ${\frac {1}{2}}\dim(M)(\dim(M)+1)$.

Der Satz stammt von Norman Steenrod und Sumner Byron Myers.

Beispiele

Die Isometriegruppe der Einheitssphäre $S^{n}$ ist die orthogonale Gruppe $O(n+1)$.

Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist die projektive lineare Gruppe $PGL(2,\mathbb {R} )$. Die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ist $PGL(2,\mathbb {C} )$.

Beweisidee

In einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ wähle einen Punkt $x$ und seine Exponentialabbildung $\exp _{x}\colon T_{x}M\to M$. Die Bilder der 1-dimensionalen Unterräume in $T_{x}M$ unter der Exponentialabbildung sind genau die Geodäten durch $x$. Aus der Vollständigkeit von $M$ folgt mit dem Satz von Hopf-Rinow, dass jeder Punkt in $M$ auf einer solchen Geodäten durch $x$ liegt.

Wähle nun $n=\dim(M)$ linear unabhängige Vektoren in $T_{x}M$ und bezeichne mit $p_{1},\ldots ,p_{n}$ ihre Bildpunkte unter $\exp _{x}$. Eine Isometrie bildet Geodäten in Geodäten ab und aus dem oben gesagten folgt, dass eine Isometrie durch die Bilder von $x,p_{1},\ldots ,p_{n}$ bereits eindeutig festgelegt ist.

Wir erhalten also eine Einbettung der Isometriegruppe $\operatorname {Isom} (M)$ in das Produkt von $n+1$ Kopien der Mannigfaltigkeit $M$. Man kann zeigen, dass das Bild dieser Einbettung eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen in dieser Mannigfaltigkeitsstruktur differenzierbar sind. Damit wird $\operatorname {Isom} (M)$ eine Lie-Gruppe.

Verallgemeinerung

Allgemeiner ist die Isometriegruppe eines $RCD^{*}(K,n)$-Raumes stets eine Lie-Gruppe. $RCD^{*}(K,n)$-Räume sind eine Klasse metrischer Maßräume, die alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension $\leq n$ mit Ricci-Krümmung $Ric\geq K$ enthält und unter Gromov-Hausdorff-Konvergenz metrischer Maßräume abgeschlossen ist.

Literatur

• S. B. Myers, N. E. Steenrod: The group of isometries of a Riemannian manifold. Ann. of Math. (2) 40 (1939), no. 2, 400–416.