Satz von Savitch

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Der Satz von Savitch oder Theorem von Savitch ist ein Satz aus der Komplexitätstheorie, der 1970 von Walter Savitch bewiesen wurde. Er besagt, dass ein von einer nichtdeterministischen Turingmaschine mit einer bestimmten Platzkomplexität lösbares Problem auf einer deterministischen Turingmaschine mit einer quadratisch höheren Platzschranke gelöst werden kann.

Eine Folgerung aus dem Satz von Savitch ist die Gleichheit von PSPACE und NPSPACE.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine platzkonstruierbare Funktion mit . Dann gilt:

Beweisidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nehmen wir an, , d. h. es gibt eine nichtdeterministische Turingmaschine mit Platzbedarf , welche genau die Sprache akzeptiert. Aufgrund der Platzbeschränkung kann nur verschiedene Konfigurationen annehmen, wobei die Anzahl ihrer Zustände und die Anzahl verschiedener Bandsymbole bezeichne. Wenn diese Maschine also eine Eingabe der Länge akzeptiert, (genau dann) gibt es auch einen akzeptierenden Lauf mit weniger als Rechenschritten. Betrachten wir ein Prädikat

Die NTM kann ausgehend von der Konfiguration innerhalb von Rechenschritten die Konfiguration erreichen.

Bezeichne die Anfangskonfiguration der NTM bei Eingabe des Wortes und die akzeptierende Haltekonfiguration. Dann können wir „ akzeptiert “ (mit geeigneter Konstante abhängig von und ) formulieren als:

.

Wir wissen, dass eine deterministische Turingmaschine mit Platzbedarf berechnen kann, ob zutrifft. Außerdem hat die Eigenschaft

es gibt eine Zwischen-Konfiguration mit und .

Eine deterministische Turingmaschine kann berechnen, indem sie alle möglichen Konfigurationen aufzählt und für jedes jeweils (nacheinander) und berechnet. Dazu genügen (für geeignetes ) Bandzellen für und Bandzellen für die Berechnung von bzw. . Insbesondere kann eine solche DTM also mit Platzbedarf ermitteln, ob und damit, ob .

Die Wahl geeigneter Konstanten ist insbesondere wegen möglich.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Walter Savitch: Relationships between nondeterministic and deterministic tape complexities. In: Journal of Computer and System Sciences. Bd. 4, Nr. 2. Elsevier 1970, ISSN 0022-0000, S. 177–192, doi:10.1016/S0022-0000(70)80006-X.