Satz von Scheffé

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Scheffés Lemma oder der Satz von Scheffé ist ein Konvergenzsatz der Maßtheorie und Statistik.

Er besagt, dass aus punktweiser Konvergenz fast überall einer Funktionenfolge auch Konvergenz im p-ten Mittel folgt, wenn die Folge der Lp-Normen konvergiert. Der Satz wurde 1928 von Frigyes Riesz gezeigt. Er wird in Lehrbüchern üblicherweise für den Fall p = 1 formuliert und mit einem eleganten Ansatz von Phil Novinger von 1972 mit Hilfe des Lemma von Fatou gezeigt.

Im Jahr 1947 bewies Henry Scheffé unabhängig, dass aus der fast sicheren Konvergenz einer Folge von Wahrscheinlichkeitsdichten bereits die gleichmäßige Konvergenz der Verteilungen folgt. Es lässt sich nämlich zeigen, dass für eine solche Folge die gleichmäßige Konvergenz der Verteilungen äquivalent zur L1-Konvergenz der Dichten ist und damit ist das Problem auf den bereits erwähnten Zusammenhang zwischen Konvergenz fast überall und Konvergenz im Mittel zurückgeführt, welchen Scheffé über Lebesgues Satz von der dominierten Konvergenz erhielt.

Formulierung des Satzes für L1[Bearbeiten]

Seien f, f_1, \dotsc, f_n, \dotsc  \in L^1(X, \mathcal A, \mu). Dann folgt aus

f_n \to f \mu-fast überall sowie \int_X |f_n |\,\mathrm{d} \mu \to \int_X |f| \,\mathrm{d} \mu

schon

\int_X |f_n - f|\, \mathrm{d} \mu \to 0.

Literatur[Bearbeiten]

  • Norbert Kusolitsch: Why the theorem of Scheffé should be rather called a theorem of Riesz. In: Periodica Mathematica Hungarica. Bd. 61, Nr. 1/2, 2010, ISSN 0031-5303, S. 225–229, doi:10.1007/s10998-010-3225-6.
  • W. Phil Novinger: Mean Convergence in Lp Spaces. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 34, Nr. 2, 1972, ISSN 0002-9939, S. 627–628, Digitalisat (PDF; 134 KB).
  • Frédéric Riesz: Sur la convergence en moyenne. In: Acta Scientiarum Mathematicarum. Bd. 4, Nr. 1/2, 1928, ISSN 0001-6969, S. 58–64.
  • Henry Scheffé: A Useful Convergence Theorem for Probability Distributions. In: Annals of Mathematical Statistics. Bd. 18, Nr. 3, 1947, ISSN 0003-4851, S. 434–438.