Lemma von Fatou

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Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Maßraum. Für jede Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen gilt

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion mit gibt:

.

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

.

Beweisidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist mit integrierbar, also ist integrierbar.

Beispiele für strikte Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grundraum sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

  • Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei das Einheitsintervall. Definiere für alle und , wobei die Indikatorfunktion des Intervalls bezeichne.
  • Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei die Menge der reellen Zahlen. Definiere für alle und . (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes hat Integral eins,

deshalb gilt

Die Folge konvergiert auf punktweise gegen die Nullfunktion

daher ist das Integral ebenfalls Null

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

Diskussion der Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei das halboffene Intervall mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle definiere . Die Folge konvergiert auf (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes hat aber Integral -1. Daher ist

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]