Satz von Schilder

Der Satz von Schilder ist ein Theorem aus der Theorie der großen Abweichungen (englisch Large Deviation Theory). Das Theorem besagt, dass eine klein-skalierte Brownsche Bewegung das Prinzip der großen Abweichungen erfüllt und somit wesentlich von $0$ verschieden ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes ist der Satz von Freidlin-Wentzell.

Aussage

Sei $B_{t\in [0,1]}$ eine standard Brownsche Bewegung auf $\mathbb {R} ^{d}$. Weiter bezeichne ${\mathcal {C}}_{0}:={\mathcal {C}}_{0}([0,1],\mathbb {R} ^{d})$ den Raum der stetigen Funktionen $f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}$ mit $f(0)=0$ und Supremumsnorm $\|\cdot \|$. Seien $(\mu _{\varepsilon })$ die von dem skalierten Prozess $B_{\varepsilon }(t):={\sqrt {\varepsilon }}B_{t}$ induzierten Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\mathcal {C}}_{0}$.

Mit $H_{1}$ bezeichne man den Cameron-Martin Raum, d. h. den Raum aller absolut stetigen funktionen mit $f(0)=0$ mit quadratisch-integrierbarer Ableitung $H_{1}:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d},f(0)=0,{\dot {f}}\in L^{2}([0,1])\}$

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsmaße $(\mu _{\varepsilon })$ wenn $\varepsilon \to 0$ das Prinzip der großen Abweichungen mit guter Rate-Funktion

$I_{B}(f)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}|{\dot {f}}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t&f\in H_{1}\\\infty &f\not \in H_{1}\ \end{cases}}$.

Das heißt für alle offenen $O\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])$ und geschlossenen Mengen $C\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])$

$-\inf _{f\in O}I_{B}(f)\leq \liminf _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(O)\leq \limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf _{f\in C}I_{B}(f)$