Satz von Wolstenholme

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

einen durch teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).[1][2]

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

  • der Zähler ist durch teilbar.
  • der Zähler ist durch teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

durch teilbar ist.[3]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

die auch in der Form

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[4]

  • Der Zähler von
ist durch teilbar.
  • Der Zähler von
ist durch teilbar.
  • Es gilt die Kongruenz
  • Es gilt die Kongruenz
  • Der Zähler der Bernoulli-Zahl ist durch teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993)[6]. Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein.[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa unterhalb (McIntosh 1995).[8]

Verwandter Begriff[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

für eine Primzahl , so ist der Zähler genau dann durch teilbar, wenn die stärkere Form

des Satzes von Euler-Fermat gilt.[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

für jede Primzahl und jede natürliche Zahl

Charles Babbage bewies 1819[10] die Kongruenz

für jede Primzahl

Joseph Wolstenholme bewies 1862[1] die Kongruenz

für jede Primzahl

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).
  2. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
  3. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
  4. Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).
  5. J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).
  6. J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).
  7. Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF-Datei, 151 kB). In: Mathematics of Computation 76. Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).
  8. Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF-Datei, 190 kB). In: Acta Arithmetica 71. 1995, S. 381–389 (englisch).
  9. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).
  10. Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]