Satz von Wolstenholme

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Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

einen durch teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).[1][2]

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

  • der Zähler ist durch teilbar.
  • der Zähler ist durch teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

durch teilbar ist.[3]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

die auch in der Form

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[4]

  • Der Zähler von
ist durch teilbar.
  • Der Zähler von
ist durch teilbar.
  • Es gilt die Kongruenz
  • Es gilt die Kongruenz
  • Der Zähler der Bernoulli-Zahl ist durch teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993)[6]. Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein.[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa unterhalb (McIntosh 1995).[8]

Verwandter Begriff[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

für eine Primzahl , so ist der Zähler genau dann durch teilbar, wenn die stärkere Form

des Satzes von Euler-Fermat gilt.[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

für jede Primzahl und jede natürliche Zahl

Charles Babbage bewies 1819[10] die Kongruenz

für jede Primzahl

Joseph Wolstenholme bewies 1862[1] die Kongruenz

für jede Primzahl

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).
  2. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
  3. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
  4. Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).
  5. J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).
  6. J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).
  7. Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF-Datei, 151 kB). In: Mathematics of Computation 76. Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).
  8. Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF-Datei, 190 kB). In: Acta Arithmetica 71. 1995, S. 381–389 (englisch).
  9. Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).
  10. Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]