Schiefer Ellipsenkegel

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Schiefer elliptischer Kegel

Der schiefe Ellipsenkegel (englisch: oblique cone) ist eine Verallgemeinerung des schiefen Kreiskegels; seine Grundfläche ist eine Ellipse mit entsprechenden Halbachsen und . Die Spitze des Schiefkegels braucht nicht über dem Ellipsenzentrum zu liegen, sondern kann sich über befinden.

Die Grundfläche wird von einer Ellipse gebildet:

Mit als Länge der großen und der kleinen Halbachsen und

Für das Volumen gilt die verallgemeinerte Formel des schiefen Kreiskegels:

mit als Höhe des schiefen Kegels,

  

als Länge der großen (halber maximaler Durchmesser) und

  

der kleinen Halbachsen (halber minimaler Durchmesser).

Der Fehler bei Verwendung von zur Berechnung des Volumens ist somit kleiner als 5 % (Faktor 1,05) und kann bei einer Abschätzung vernachlässigt werden.

Generell: Mantel des schiefen Ellipsenkegels

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Schiefer Ellipsenkegel

Die Berechnung der Mantelfläche ist anspruchsvoll.

Die Ellipse wird durch

beschrieben ( aus , Parameterdarstellung, siehe Zeichnung).

Es sei

Die Basis des infinitesimalen Dreiecks (die zur Berechnung des Kegelmantels verwendet wird) ist

das folgt durch Differentiation aus der obigen Parameterdarstellung. In der Literatur wird häufig als

geschrieben. mit heißt „numerische Exzentrizität“. Die Integration von bis ergibt ein „elliptisches Integral zweiter Gattung“ (das ist die bekannte Formel für den Umfang einer Ellipse). Das infinitesimale Dreieck liegt in der Ebene, die durch die Ellipsen-Tangente an

und durch die Kegelspitze im Abstand senkrecht über festgelegt ist. Die Höhe des infinitesimalen Dreiecks lautet

(nicht zu verwechseln mit der Höhe des Kegels). Hier bedeutet das Lot von auf die Ellipsen-Tangente an den Punkt . Es sei

Dann gilt

Die Fläche des infinitesimalen Dreiecks beträgt also

Die Formel für die Mantelfläche M des schiefen Ellipsenkegels lautet demnach:

Da der Integrand nicht symmetrisch um verläuft, muss man hier über den Vollkreis integrieren. Unter dem Integral von 0 bis darf man die Minuszeichen in gemeinsam durch Pluszeichen ersetzen. Dann lautet die Formel ausgeschrieben

Statt und kann man auch und als Integrationsgrenzen wählen, ohne den Wert zu ändern. Wenn man als Funktion von und auffasst, dann dient sie als Erzeugende der bekannten Formeln für Kreis, Ellipse und Kegel.

= Kreisfläche
= Ellipsenfläche
= Mantelfläche des geraden Kreiskegels
= Mantelfläche des schiefen Kreiskegels
= Mantelfläche des geraden Ellipsenkegels
= Mantelfläche des schiefen Ellipsenkegels.

Ein Extremalwertsatz

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Bewegt man die Spitze des schiefen Ellipsenkegels auf gleichbleibender Höhe (bzw. mit konstanter Achse) über den Strahl (c beliebige Steigung), dann ist der Mantel eine differenzierbare Funktion von (bei eine Funktion von v). Es gilt und (bzw. ) und damit der Satz (analog zum Kreiskegel)

Unter allen Ellipsenkegeln derselben Höhe (derselben Achse) über derselben Grundellipse besitzt der gerade den kleinsten (bzw. größten) Mantel.

Beim Beweis verwendet man die Tatsache, dass sich die Differentiation nach unter das Integral ziehen lässt und dass folgende Integranden, über den Vollkreis integriert, verschwinden: , und , wobei eine Funktion bezeichnet, die um symmetrisch verläuft, z. B. oder .

Speziell: Mantel des geraden Ellipsenkegels

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Für (also für den geraden Ellipsenkegel) lautet die Mantel-Formel

Durch den erlaubten Kniff

lässt sich der Integrand nach und ordnen, und man erhält den Ausdruck

wobei und . Das Integral (ohne den Faktor ½) bedeutet den Umfang der Ellipse mit den Halbachsen und . Daher gilt der Satz:

Die Mantelfläche des geraden Ellipsenkegels mit den Halbachsen und und der Höhe ist zahlenmäßig gleich dem halben Umfang der Ellipse mit den Halbachsen und

Der Nutzen dieses Satzes besteht darin, dass man nun die bekannten Abschätzungen für den Ellipsenumfang auf die Mantel-Berechnung anwenden darf. Für den Umfang der Ellipse mit den Halbachsen und gilt in erster Näherung ( und , also auch )

Für den Mantel des geraden Ellipsenkegels gewinnt man daraus die Abschätzung

Das Gleichheitszeichen gilt für (Mantel des geraden Kreiskegels) oder (Ellipsen- bzw. Kreisfläche). Beispiel: , und . Die Abschätzung liefert den Wert 36,7… Der genaue Wert beträgt 36,9…

Schlussbemerkung: Durch Abschätzung des Integranden nach unten und oben erhält man die grobe Ungleichung für (das Gleichheitszeichen gilt für oder ). Die Mantelfläche ist also ungefähr gleich dem arithmetischen Mittel aus der unteren und oberen Schranke.