Schnitt (Faserbündel)

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Schnitte sind Abbildungen, welche in der algebraischen Topologie, insbesondere in der Homotopietheorie, untersucht werden. Insbesondere interessiert man sich dafür, unter welchen Bedingungen solche Abbildungen existieren. Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel von Schnitten sind die Differentialformen.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Schnitt kann als Verallgemeinerung des Graphen einer Funktion aufgefasst werden. Der Graph einer Abbildung kann mit einer Funktion mit Werten in dem kartesischen Produkt identifiziert werden. Die Funktion hat die Form

Ist die Projektion auf die erste Komponente, so gilt . Wie die folgende Definition zeigen wird, ist ein Spezialfall eines Schnittes.

Mit Hilfe von Schnitten in Faserbündeln lässt sich obige Konstruktion auch auf Mengen verallgemeinern, welche nicht aus kartesischen Produkten bestehen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung s ist ein Schnitt in einem Faserbündel p : EB. Dieser Schnitt s erlaubt es, den Basisraum B mit dem Teilraum s(B) von E zu identifizieren.

Schnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Faserbündel, bestehend aus dem Totalraum , dem Basisraum , der Bündelprojektion und der Faser . Ein (globaler) Schnitt in einem Faserbündel ist eine stetige Abbildung so dass

für alle gilt. Die Abbildung ist also ein Rechtsinverses zur Bündelprojektion . Die Menge der (globalen) Schnitte wird oftmals mit oder mit bezeichnet.

Schnitt mit kompaktem Träger[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Vektorbündel. Ein Schnitt heißt Schnitt mit kompaktem Träger, falls es eine kompakte Menge gibt mit für . Die Menge der Schnitte mit kompaktem Träger wird mit beziehungsweise mit bezeichnet. Statt des Zusatzes findet auch der Zusatz verwendet.

Glatter Schnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine glatte Mannigfaltigkeit, ein glattes Vektorbündel über und ist die Abbildung aus obigem Abschnitt glatt, so nennt man einen glatten (globalen) Schnitt. Zur Unterscheidung gegenüber den zuvor definierten Schnitten notiert man diese Menge dieser Schnitte mittels . Kann keine Verwechslung zwischen glatten und nicht glatten Schnitten auftreten, so verzichtet man auch oft wieder auf den Zusatz .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Sei ein triviales Faserbündel und sei die Projektion auf . Die Schnitte in diesem Faserbündel sind natürlich isomorph zu den stetigen Funktion
  2. Eine Vektorfeld an einer Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung , welche jeden Punkt der Mannigfaltigkeit mit einem Punkt des entsprechenden Tangentialraums paart. Der Punkt wird also auf abgebildet.
  3. Ein weiteres bekanntes Beispiel von Schnitten sind die Differentialformen. Dies sind Schnitte in der äußeren Potenz des Kotangentialbündels.
  4. Es sei ein Vektorbündel, der Null-Schnitt ist definiert durch für alle . Es interessiert jedoch, wann ein Vektorbündel Schnitte hat, welche nirgendwo Null sind. Diese Frage ist zum Beispiel wichtig, um die Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit zu untersuchen. Ein wichtiges Resultat zu dieser Frage ist der Satz vom Igel.

Lokaler Schnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Faserbündel haben im Gegensatz zu den obigen Beispielen nicht immer globale Schnitte. Darum scheint es sinnvoll Schnitte lokal zu definieren.

Sei eine offene Teilmenge. Ein lokaler Schnitt in einem Faserbündel ist eine Abbildung , für welche ebenfalls für alle gilt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.