Orientierung (Mathematik)

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Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie. In einem -dimensionalen Raum haben zwei geordnete Basen die gleiche Orientierung, wenn sie durch lineare Abbildungen mit positiver Determinante der Abbildungsmatrix (zum Beispiel Streckungen und Drehungen) auseinander hervorgehen. Sind zusätzlich Spiegelungen erforderlich, so ist die Determinante negativ und die Basen sind nicht gleich orientiert.

Es gibt zwei mögliche Orientierungen, ein Wechsel zwischen den Orientierungen ist durch Drehungen nicht möglich. Anschauliche Beispiele:

Dabei ist zu beachten, dass die Beispiele der Ebene im Raum keine verschiedene Orientierung haben, weil sie keine räumliche Tiefe besitzen.

Orientierung eines Vektorraums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit zwei geordneten Basen und . Dazu gibt es eine Basiswechselsmatrix , die den Übergang von der einen Basis in die andere beschreibt. Ist genauer und , so kann man die bezüglich der Basis als Linearkombinationen darstellten. ist dann die aus den gebildete Matrix. Diese ist als Basiswechselmatrix immer bijektiv und hat daher eine von 0 verschiedene Determinante, das heißt es ist oder . Ist die Determinante positiv, so sagt man, die Basen und haben dieselbe Orientierung. Den Basiswechsel selbst nennt man bei positiver Determinante orientierungserhaltend, anderenfalls orientierungsumkehrend. Da hier von der Anordnung der reellen Zahlen Gebrauch gemacht wurde, kann diese Definition nicht auf Vektorräume über beliebigen Körpern übertragen werden, sondern nur auf solche über geordneten Körpern.

Die Orientierung ist über eine Äquivalenzrelation zwischen geordneten Basen eines -Vektorraumes definiert. Zwei Basen und sind äquivalent, wenn sie dieselbe Orientierung haben. Bezüglich dieser Äquivalenzrelation gibt es zwei Äquivalenzklassen. Dass diese Äquivalenzrelation wohldefiniert ist und es tatsächlich nur zwei Äquivalenzklassen gibt, sichert der Determinantenmultiplikationssatz sowie die Tatsache, dass Basistransformationen umkehrbar sind. Man nennt nun jede dieser beiden Äquivalenzklassen eine Orientierung. Eine Orientierung eines Vektorraums wird also angegeben, indem man eine Äquivalenzklasse von Basen angibt, zum Beispiel, indem man eine zu dieser Äquivalenzklasse gehörende Basis angibt. Jede zu der ausgewählten Äquivalenzklasse gehörende Basis heißt dann positiv orientiert, die andern heißen negativ orientiert.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In sind sowohl , als auch geordnete Basen. Die Basistransformationsmatrix ist somit

.

Die Determinante von ist . Also sind die beiden Basen nicht gleich orientiert und Repräsentanten der beiden verschiedenen Äquivalenzklassen.

Das lässt sich leicht veranschaulichen: Die erste Basis entspricht einem „normalen“ -Koordinatensystem, bei dem die -Achse nach rechts und die -Achse nach oben „zeigt“. Vertauscht man die beiden Achsen, „zeigt“ also die -Achse nach oben und die -Achse nach rechts, dann erhält man eine zweite Basis mit anderer Orientierung.

Homologische und kohomologische Orientierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wird weiterhin ein reeller -dimensionaler Vektorraum bezeichnet und mit die relative Homologie des Raumpaars . In der Homologietheorie wurde gezeigt, dass ein Isomorphismus existiert. Die Wahl einer Orientierung für entspricht daher der Wahl eines der beiden Erzeuger von .

Dafür betrachtet man eine Einbettung des -dimensionalen Standardsimplex nach , welche das Baryzentrum nach (und demzufolge die Seitenflächen nach ) abbildet. Eine solche Abbildung ist ein relativer Zykel und repräsentiert einen Erzeuger von . Zwei solcher Einbettungen repräsentieren genau dann denselben Erzeuger, wenn sie beide orientierungserhaltend oder beide nicht orientierungserhaltend sind.

Weil dual zu ist, wird durch eine Orientierung und die zugehörige Wahl eines Erzeugers von auch ein Erzeuger von festgelegt.

Orientierung einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nichtorientierbare Mannigfaltigkeit - Das Möbiusband

Definition (mittels des Tangentialraums)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Orientierung einer -dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist eine Familie von Orientierungen für jeden einzelnen Tangentialraum , die in folgendem Sinne stetig vom Fußpunkt abhängt:

Zu jedem Punkt existiert eine auf einer offenen Umgebung von definierte Karte mit Koordinatenfunktionen , …, , so dass an jedem Punkt die durch die Karte im Tangentialraum induzierte Basis

bezüglich positiv orientiert ist.

Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, falls eine solche Orientierung existiert. Eine äquivalente Charakterisierung von Orientierbarkeit liefert der folgende Satz:

ist genau dann orientierbar, wenn ein Atlas von existiert, so dass für alle Karten mit nichtleerem Schnitt und für alle im Definitionsbereich von gilt:

Hierbei bezeichnet die Jacobi-Matrix.

Koordinatenfreie Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte, -dimensionale Mannigfaltigkeit. Diese Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn auf eine glatte, nicht-degenerierte -Form existiert.

Homologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine -dimensionale (topologische) Mannigfaltigkeit und ein Ring. Mit Hilfe des Ausschneidungsaxioms für eine Homologietheorie erhält man:

Eine -Orientierung auf ist eine Auswahl von Erzeugern

mit folgender Kompatibilitätsbedingung: Für jedes gibt es eine offene Umgebung und ein Element , so dass für alle die von der Inklusion von Raumpaaren induzierte Abbildung auf der Homologie

das Element auf abbildet.[1] Beispielsweise stimmt der Begriff der -Orientierung mit dem gewöhnlichen Orientierungsbegriff überein. Für andere Ringe kann man allerdings andere Ergebnisse erhalten; so ist zum Beispiel jede Mannigfaltigkeit -orientierbar.

Verallgemeinerte Homologietheorien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine durch ein Ringspektrum gegebene (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie. Wir bezeichnen mit das Bild von unter dem iterierten Einhängungs-Isomorphismus. Für eine geschlossene -Mannigfaltigkeit , einen Punkt und eine offene Umgebung , sei eine stetige Abbildung, die ein Homöomorphismus auf und konstant auf dem Komplement von ist. Dann heißt eine Homologieklasse

eine -Orientierung oder -Fundamentalklasse, wenn

für alle gilt. Für die singuläre Homologie stimmt diese Definition mit der obigen überein.

Orientierung eines Vektorbündels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Orientierung eines Vektorbündels ist eine Familie von Orientierungen für jede einzelne Faser , die in folgendem Sinne stetig vom Fußpunkt abhängt:

Zu jedem Punkt existiert eine offene Umgebung von mit lokaler Trivialisierung , so dass für jedes die durch

definierte Abbildung von nach orientierungserhaltend ist.

Eine Mannigfaltigkeit ist also genau dann orientierbar, falls ihr Tangentialbündel orientierbar ist.

Kohomologische Formulierung: Für ein orientierbares -dimensionales Vektorbündel mit Nullschnitt gilt für und es gibt einen Erzeuger von , dessen Einschränkung auf für jedes der gewählten Orientierung der Faser entspricht.

Die einer gewählten Orientierung entsprechende Kohomologieklasse

heißt Thom-Klasse oder Orientierungsklasse des orientierten Vektorbündels.

Alternativ kann man auch den Thom-Raum verwenden, dessen Kohomologie zu isomorph ist. Die Thom-Klasse entspricht dann dem Bild des (bzgl. Cup-Produkt) neutralen Elementes unter dem Thom-Isomorphismus .

Kohomologische Orientierung (Verallgemeinerte Kohomologietheorien)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine durch ein Ringspektrum gegebene (reduzierte) verallgemeinerte Kohomologietheorie mit neutralem Element . Wir bezeichnen mit das Bild von unter dem iterierten Einhängungs-Isomorphismus. Für jedes induziert die Inklusion eine Abbildung . Eine kohomologische Orientierung bzgl. der Kohomologietheorie ist - per definitionem - ein Element

mit für alle .

Beispiele:

  • Im Falle singulärer Kohomologie mit -Koeffizienten entspricht das der obigen Definition und ist die Thom-Klasse.
  • Jedes Vektorbündel ist bzgl. singulärer Kohomologie mit -Koeffizienten orientierbar.
  • Ein Vektorbündel ist bzgl. reeller K-Theorie orientierbar gdw. es eine Spinstruktur besitzt, also wenn die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden.
  • Ein Vektorbündel ist bzgl. komplexer K-Theorie orientierbar gdw. es eine SpinC-Struktur besitzt.

Eine kohomologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit ist per definitionem eine kohomologische Orientierung ihres Tangentialbündels. Milnor-Spanier-Dualität liefert eine Bijektion zwischen homologischen und kohomologischen Orientierungen einer geschlossenen Mannigfaltigkeit bzgl. eines gegebenen Ringspektrums.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Allen Hatcher: Algebraic Topology. University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-79540-0, S. 231 (Online).