Orientierung (Mathematik)

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Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie. In einem n-dimensionalen Raum haben zwei Basen die gleiche Orientierung, wenn sie durch lineare Abbildungen mit positiver Determinante der Abbildungsmatrix (zum Beispiel Streckungen und Drehungen) auseinander hervorgehen. Sind zusätzlich Spiegelungen erforderlich, so ist die Determinante negativ und die Basen sind nicht gleich orientiert.

Anschaulich gibt es zwei mögliche Orientierungen, ein Wechsel zwischen den Orientierungen ist durch Drehungen nicht möglich. Beispiele:

Dabei ist zu beachten, dass die Beispiele der Ebene im Raum keine verschiedene Orientierung haben, weil sie keine räumliche Tiefe besitzen.

Orientierung eines Vektorraums[Bearbeiten]

Einleitung[Bearbeiten]

V sei ein endlichdimensionaler \mathbb{R}-Vektorraum. Dann kann man jede lineare Abbildung f:V \rightarrow V (solch eine Abbildung nennt man einen Endomorphismus) als (Koordinaten-)matrix darstellen. Diese Matrixdarstellung ist jedoch von der Wahl der Basis von V abhängig. Seien nun A und B Basen von V. Um nun f von der Basis  A in die Basis B zu transformieren, kann man immer eine Basiswechselsmatrix T^{A}_{B} finden. Es ändert sich also unter verschiedenen Basen die Darstellung der Funktion f.

Nun untersucht man die Determinante von T^{A}_{B}. Diese kann niemals Null werden, da Basiswechselmatrizen immer bijektiv und damit regulär sind. Nimmt \det(T^{A}_{B}) einen positiven Wert an, so sagt man, die Basen A und B haben dieselbe Orientierung. Wie man sich leicht überlegen kann, kann man diese Definition nicht auf Vektorräume über beliebigen Körpern übertragen, sondern nur auf solche über geordneten Körpern.

Definition[Bearbeiten]

Die Orientierung ist über eine Äquivalenzrelation zwischen Basen eines \R-Vektorraumes definiert. Man definiert die Äquivalenzrelation über die Basistransformationsmatrix T^{A}_{B} zwischen zwei Basen A, B wie folgt:

 A \sim B :\Leftrightarrow \det \big(T^{A}_{B}\big) > 0.

Bezüglich dieser Äquivalenzrelation gibt es zwei Äquivalenzklassen. Dass diese Äquivalenzrelation wohldefiniert ist und es tatsächlich nur zwei Äquivalenzklassen gibt, sichert der Determinantenmultiplikationssatz sowie die Tatsache, dass Basistransformationen umkehrbar sind.

Man nennt nun jede dieser beiden Äquivalenzklassen eine Orientierung. Eine Orientierung eines Vektorraums wird also angegeben, indem man eine Äquivalenzklasse von Basen angibt, zum Beispiel, indem man eine zu dieser Äquivalenzklasse gehörende Basis angibt.

Jede zu der ausgewählten Äquivalenzklasse gehörende Basis heißt dann positiv orientiert, die andern heißen negativ orientiert.

Beispiel[Bearbeiten]

In \R^2 sind sowohl (e_1,e_2), als auch (e_2,e_1) Basen. Die Basistransformationsmatrix ist  M=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{smallmatrix}\right). Die Determinante von M ist:  \det(M) = -1. Also sind die beiden Basen nicht gleich orientiert und Repräsentanten der beiden verschiedenen Äquivalenzklassen.

Das lässt sich leicht veranschaulichen: Die erste Basis entspricht einem „normalen“ (x,y)-Koordinatensystem, bei dem die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach oben „zeigt“. Kehrt man genau eine dieser beiden Achsen um, „zeigt“ also die x-Achse nach links oder die y-Achse nach unten, aber nicht beides, dann erhält man eine zweite Basis mit anderer Orientierung.

Homologische und Kohomologische Orientierung[Bearbeiten]

Für einen reellen n-dimensionalen Vektorraum V gilt H_n(V,V\setminus 0;\Z)\simeq\Z und die Wahl einer Orientierung für V entspricht der Wahl eines der beiden Erzeuger von H_n(V,V\setminus 0;\Z).

Dafür betrachtet man eine Einbettung des n-dimensionalen Standardsimplex nach V, welche das Baryzentrum nach 0 (und demzufolge die Seitenflächen nach V\setminus 0) abbildet. Eine solche Abbildung ist ein relativer Zykel und repräsentiert einen Erzeuger von H_n(V,V\setminus 0;\Z). Zwei solcher Einbettungen repräsentieren genau dann denselben Erzeuger, wenn sie beide orientierungs-erhaltend oder beide nicht orientierungs-erhaltend sind.

Weil H^n(V,V\setminus 0;\Z) dual zu H_n(V,V\setminus 0;\Z) ist, wird durch eine Orientierung und die zugehörige Wahl eines Erzeugers von H_n(V,V\setminus 0;\Z) auch ein Erzeuger von H^n(V,V\setminus 0;\Z) festgelegt.

Orientierung einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Eine nichtorientierbare Mannigfaltigkeit - Das Möbiusband

Definition (mittels des Tangentialraums)[Bearbeiten]

Eine Orientierung \mathcal O = \left\{ \mathcal O_p \right\}_{p\in M} einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Familie von Orientierungen \mathcal O_p für jeden einzelnen Tangentialraum T_p M, die in folgendem Sinne stetig vom Fußpunkt p abhängt:

Zu jedem Punkt p \in M existiert eine auf einer offenen Umgebung U von p definierte Karte \varphi\colon U \to V \subset \R^n mit Koordinatenfunktionen x^1\colon U \to \R, … , x^n\colon U \to \R, so dass an jedem Punkt q \in U die durch die Karte im Tangentialraum T_q M induzierte Basis

\left(\frac{\partial}{\partial x^1}\Big|_q, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n}\Big|_q\right)

bezüglich \mathcal O_q positiv orientiert ist.

Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, falls eine solche Orientierung existiert. Eine äquivalente Charakterisierung von Orientierbarkeit liefert der folgende Satz:

M ist genau dann orientierbar, wenn ein Atlas \mathcal A von M existiert, so dass für alle Karten \varphi, \psi mit nichtleerem Schnitt U^\varphi \cap U^\psi \neq \emptyset und für alle x im Definitionsbereich \psi(U^\varphi \cap U^\psi) von \varphi \circ \psi^{-1} gilt:

 \det\big( D_x(\varphi \circ \psi^{-1})\big) >0

Hierbei bezeichnet D_x die Jacobi-Matrix.

Koordinatenfreie Definition[Bearbeiten]

Sei M eine glatte, n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Diese Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn auf M eine glatte, nicht-degenerierte n-Form  \alpha existiert.

Homologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Sei M eine n-dimensionale (topologische) Mannigfaltigkeit und R ein Ring. Mit Hilfe des Ausschneidungsaxioms für eine Homologietheorie erhält man:

 H_n(M,M\setminus\{x\})\cong H_n(\R^n,\R^n\setminus\{0\})\cong R

Eine R-Orientierung auf M ist eine Auswahl von Erzeugern

\{\mu_x\in H_n(M,M\setminus\{x\})|x\in M\}

mit folgender Kompatibilitätsbedingung: Für jedes x\in M gibt es eine offene Umgebung U\subset M und ein Element \mu_U\in H_n(M,M\setminus U), so dass für alle  y\in U die von der Inklusion von Raumpaaren induzierte Abbildung auf der Homologie

 H_n(M,M\setminus U)\rightarrow H_n(M,M\setminus \{y\})

das Element  \mu_U auf  \mu_y abbildet.[1] Beispielsweise stimmt der Begriff der  \Z-Orientierung mit dem gewöhnlichen Orientierungsbegriff überein. Für andere Ringe kann man allerdings andere Ergebnisse erhalten; so ist zum Beispiel jede Mannigfaltigkeit \Z_2-orientierbar.

Verallgemeinerte Homologietheorien[Bearbeiten]

Sei \tilde{h}_* eine durch ein Ringspektrum gegebene (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie. Wir bezeichnen mit s_n\in \tilde{h}_n(S^n) das Bild von 1\in\tilde{h}_0(S^0) unter dem iterierten Einhängungs-Isomorphismus. Für eine geschlossene n-Mannigfaltigkeit M, einen Punkt m\in M und eine offene Umgebung m\in U\simeq D^n, sei \epsilon^{m,U}\colon M\to S^n eine stetige Abbildung, die ein Homöomorphismus auf U und konstant auf dem Komplement von U ist. Dann heißt eine Homologieklasse

\left[M\right]\in \tilde{h}_n(M)

eine h-Orientierung oder h-Fundamentalklasse, wenn

\epsilon_*^{m,U}\left[M\right]=\pm s_n

für alle m, U gilt. Für singuläre Homologie stimmt diese Definition mit der obigen überein.

Orientierung eines Vektorbündels[Bearbeiten]

Eine Orientierung \mathcal O = \left\{ \mathcal O_b \right\}_{b\in B} eines Vektorbündels p\colon E\to B ist eine Familie von Orientierungen \mathcal O_b für jede einzelne Faser F_b=p^{-1}(b), die in folgendem Sinne stetig vom Fußpunkt b\in B abhängt:

Zu jedem Punkt b\in B existiert eine offene Umgebung U von b mit lokaler Trivialisierung h\colon U\times \R^n\to p^{-1}(U), so dass für jedes b\in B die durch

x\to h(b,x)

definierte Abbildung von \R^n nach F_b orientierungs-erhaltend ist.

Eine Mannigfaltigkeit ist also genau dann orientierbar, falls ihr Tangentialbündel orientierbar ist.

Kohomologische Formulierung: Für ein orientierbares n-dimensionales Vektorbündel E\to B mit Nullschnitt E_0 gilt H^i(E,E - E_0;\Z)=0 für 0<i<n und es gibt einen Erzeuger von u\in H^n(E,E - E_0;\Z)\simeq\Z, dessen Einschränkung auf H^n(F_b,F_b - 0;\Z) für jedes b\in B der gewählten Orientierung der Faser F_b entspricht.

Die einer gewählten Orientierung entsprechende Kohomologieklasse

u\in H^n(E,E - E_0;\Z)

heißt Thom-Klasse oder Orientierungsklasse des orientierten Vektorbündels.

Alternativ kann man auch den Thom-Raum Th(E) verwenden, dessen Kohomologie H^*(Th(E);\Z) zu H^*(E,E - E_0;\Z) isomorph ist. Die Thom-Klasse entspricht dann dem Bild des (bzgl. Cup-Produkt) neutralen Elementes 1\in H^0(B;\Z) unter dem Thom-Isomorphismus H^{*+n}(Th(E);\Z)\simeq H^*(B;\Z).

Kohomologische Orientierung (Verallgemeinerte Kohomologietheorien)[Bearbeiten]

Sei \tilde{h}^* eine durch ein Ringspektrum gegebene (reduzierte) verallgemeinerte Kohomologietheorie mit neutralem Element 1\in\tilde{h}^0(S^0). Wir bezeichnen mit \sigma^n\in \tilde{h}^n(S^n) das Bild von 1 unter dem iterierten Einhängungs-Isomorphismus. Für jedes b\in B induziert die Inklusion \R^n=F_b\to E eine Abbildung j_b:S^n\to Th(E). Eine kohomologische Orientierung bzgl. der Kohomologietheorie \tilde{h} ist - per definitionem - ein Element

u\in \tilde{h}^n(Th(E))

mit j_b^*u=\pm\sigma^n für alle b\in B.

Beispiele:

  • Im Falle singulärer Kohomologie mit \Z-Koeffizienten \tilde{h}^*(X)=\tilde{H}*(X;\Z) entspricht das der obigen Definition und u ist die Thom-Klasse.
  • Jedes Vektorbündel ist bzgl. singulärer Kohomologie mit \Z/2\Z-Koeffizienten orientierbar.
  • Ein Vektorbündel ist bzgl. reeller K-Theorie orientierbar gdw. es eine Spinstruktur besitzt, also wenn die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden.
  • Ein Vektorbündel ist bzgl. komplexer K-Theorie orientierbar gdw. es eine SpinC-Struktur besitzt.

Eine kohomologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit ist per definitionem eine kohomologische Orientierung ihres Tangentialbündels. Milnor-Spanier-Dualität liefert eine Bijektion zwischen homologischen und kohomologischen Orientierungen einer geschlossenen Mannigfaltigkeit bzgl. eines gegebenen Ringspektrums.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Allen Hatcher: Algebraic Topology. University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-79540-0, S. 231 (Online).