Schnittzahl (Algebraische Geometrie)

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In der algebraischen Geometrie ist die Schnittzahl, Vielfachheit oder Schnittmultiplizität eine Eigenschaft eines Schnittpunktes zweier ebener algebraischer Kurven. Es ist eine positive, ganze Zahl, die angibt, wie oft ein Schnittpunkt in bestimmten Kontexten gezählt werden muss.

Anschaulich misst die Schnittzahl, wie "eng" die beiden Kurven sich im Schnittpunkt berühren. So ist z. B. die Schnittzahl der beiden Kurven und im Ursprung 1, während die beiden Kurven und im Ursprung die Schnittzahl 3 haben.

  • Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und ebene affine algebraische Kurven in . Die Schnittzahl von und im Punkt wird mit bezeichnet und ist definiert durch:

Dabei bezeichnet den im Punkt lokalisierten Ring der regulären Funktionen der affinen Varietät .

  • und schneiden sich eigentlich in , wenn sie keine gemeinsame Komponente haben, die enthält.
  • und schneiden sich transversal in , wenn ein Einfachpunkt beider Kurven ist und die Tangenten beider Kurven in diesem Punkt verschieden sind.

Die Schnittzahl weist folgende Eigenschaften auf:

  1. Falls sich und in eigentlich schneiden, ist eine nicht-negative ganze Zahl, ansonsten ist .
  2. . Es ist nur von den Komponenten von und abhängig, welche durch gehen.
  3. Sei eine affine Koordinatentransformation von mit , dann gilt:
  4. mit Gleichheit genau dann, wenn und in keine gemeinsamen Tangenten haben.
  5. Falls und , dann gilt:
  6. Wenn ein Einfachpunkt von ist, dann gilt .
  7. Wenn und keine gemeinsamen Komponenten haben, so gilt:

Durch diese Eigenschaften ist die Schnittzahl zugleich eindeutig bestimmt.

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper von Charakteristik und sowie . Man findet folgende Schnittpunkte:

  • . In diesem Fall liegen die Punkte in einer gemeinsamen Komponente von und , also gilt:
  • : Unter Benutzung der Eigenschaften der Schnittzahl berechnet man:

Satz von Bézout

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Durch Einführen homogener Koordinaten lässt sich Definition der Schnittzahl auf projektive ebene Kurven ausdehnen. Der Satz von Bézout besagt dann, dass für projektive ebene Kurven ohne gemeinsame Komponenten gilt:

Hierbei ist der Grad des homogenen Polynoms, das die projektive Kurve definiert.

Beschränkt man sich auf affine ebene Kurven ohne gemeinsame Komponenten, gilt hingegen nur die Ungleichung:

Verallgemeinerung

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Eine Verallgemeinerung auf Varietäten höherer Dimensionen ist möglich, siehe dazu das mit dem Leroy P. Steele Prize ausgezeichnete Werk „Intersection Theory“ von William Fulton.

  • William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics lecture note series, 30. Benjamin/Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
  • William Fulton: Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Folge 3. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-62046-X