Semiperfekter Ring

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Ein semiperfekter Ring im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Ring, über dem jeder endlich erzeugte Linksmodul eine projektive Decke hat. Der Begriff wurde 1959/60 von Hyman Bass eingeführt.

Definition[Bearbeiten]

Im folgenden sei R ein Ring mit 1, J=J(R) das Jacobson-Radikal.

Ein Ring R heißt semiperfekt, wenn er eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt:

  • Jeder einfache R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
  • Jeder endlich erzeugte R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
  • R/J ist halbeinfach, und jedes Idempotent von R/J lässt sich zu R heben.
  • Es existiert eine Zerlegung  1 = \sum_{i=1}^ne_i mit paarweise orthogonalen, lokalen Idempotenten e_1,...,e_n

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Alle linksartinschen und alle rechtsartinschen Ringe sind semiperfekt.
  • Jeder lokale Ring ist semiperfekt.
  • Ein kommutativer Ring R ist genau dann semiperfekt, wenn R eine endliche direkte Summe von lokalen Ringen ist
  • Ist R semiperfekt und I ein Ideal von R, dann ist auch der Faktorring R/I semiperfekt.
  • Ist R semiperfekt und e \in R ein Idempotent, dann ist auch eRe semiperfekt.