Jacobson-Radikal

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In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings ein Ideal von , das Elemente von enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei ein Ring mit Eins und ein R-Linksmodul.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Durchschnitt aller maximalen -Untermoduln von wird als (Jacobson-)Radikal (oder kurz ) bezeichnet. Hat keine maximalen Untermoduln, so setzt man .

Ist endlich erzeugt, so gilt: . Dabei heißt ein Element von überflüssig, wenn für jeden Untermodul gilt: Aus folgt bereits .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist endlich erzeugt und ein Untermodul von mit , dann ist bereits . Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
  • Ist endlich erzeugt und , dann ist . (Dies ist der Spezialfall der vorigen Aussage.)
  • gilt genau dann, wenn isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher -Moduln ist.
  • ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn artinsch und ist.

Jacobson-Radikal von Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei ein Ring mit Eins.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Jacobson-Radikal des Ringes wird als das Jacobson-Radikal des -Linksmoduls definiert. Es wird als notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

  • als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
  • als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links--Moduln / Rechts--Moduln

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Ring ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und ist.
  • Für jeden linksartinschen Ring ist der Ring halbeinfach.
  • Ist linksartinsch, dann gilt für jeden -Linksmodul : .
  • ist das kleinste Ideal von mit der Eigenschaft, dass halbeinfach ist.
  • Ist ein Nillinksideal von , dann gilt: .
  • Ist linksartinsch, dann ist ein nilpotentes Ideal.
  • Ist linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
  • Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring die Existenz maximaler Ideale, für gilt also .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist ; ebenso das Jacobson-Radikal von .
  • Das Jacobson-Radikal von ist .
  • Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen -Dreiecksmatrizen über einem Körper enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
  • Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
  • Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]