Separationsansatz

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Der Separationsansatz oder Produktansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Er ähnelt der Trennung der Variablen für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form:

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen und in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

.

Der Separationsansatz mit :

führt auf

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch mit der Annahme im Inneren der Fläche.

Vereinfachung der Notation und ergibt

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, also


Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]