Separationsansatz

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Der Separationsansatz oder Produktansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Er ähnelt der Trennung der Variablen für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Allgemeines[Bearbeiten]

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form:

u(t,x) = X(x) \cdot T(t)

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen X und T in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

\Phi(x, X, X',X'') = \lambda = \Psi(t, T, T', T'')

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel[Bearbeiten]

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung \frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}. Separationsansatz mit y(x,t)=f(x)g(t).

\frac{\partial^{2}f(x)g(t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}f(x)g(t)}{\partial x^{2}}

Führt durch Produktregel auf

\frac{d^{2} f(x)}{d t^{2}} g(t) + f(x) \frac{d^{2} g(t)}{d t^{2}} = c^{2}\left(\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} g(t) + f(x) \frac{d^{2} g(t)}{d x^{2}}\right)
f(x) \frac{d^{2} g(t)}{d t^{2}} =c^{2} \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}} g(t)

Nun folgt die "Separation der Variablen" mit Division durch f(x)g(t) mit der Annahme y(x,t)\neq 0 im Inneren der Fläche.

 \frac{1}{g(t)} \frac{d^{2}g(t)}{dt^{2}} = c^{2} \frac{1}{f(x)} \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}

Vereinfachung der Notation f''(x) = \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}} und g''(t) = \frac{d^{2}g(t)}{dt^{2}} ergibt

\frac{g''(t)}{g(t)} = c^{2} \frac{f''(x)}{f(x)}

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, also

\frac{g''(t)}{g(t)} = c^{2} \frac{f''(x)}{f(x)}  = \lambda


Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

f''(x) = \frac{\lambda}{c^{2}} f(x)
g''(t)= \lambda g(t)

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter \lambda und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in y(x,t) ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]