Separationsansatz

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Der Separationsansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Der Produktansatz ist ein Spezialfall.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion auf folgende Weise trennen lässt

wobei und geeignete Funktionen sind.

Produktansatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion , so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen und in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

.

Der Separationsansatz mit :

führt auf

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch mit der Annahme im Inneren der Fläche.

Vereinfachung der Notation und ergibt

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]