Separationsansatz

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Der Separationsansatz oder Produktansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Er ähnelt der Trennung der Variablen für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Allgemeines[Bearbeiten]

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form:

u(t,x) = X(x) \cdot T(t)

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen X und T in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

\Phi(x, X, X',X'') = \lambda = \Psi(t, T, T', T'')

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel[Bearbeiten]

Zu lösen sei die Wellengleichung u_{xx}(t,x)=\tfrac{1}{c^2}u_{tt}(t,x). Der Separationsansatz liefert u(t,x)= T(t) \cdot X(x) , die Ableitungen des Separationsansatzes sind: u_{xx}=T(t) \cdot X''(x) und u_{tt}=T''(t) \cdot X(x) . Einsetzen der Ableitungen in die zu lösende Gleichung:

T(t) \cdot X''(x) = \frac{1}{c^2}T''(t) \cdot X(x)
\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda = \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)} =  \text{const.}

Da der linke Teil nur von x, der rechte Teil der Gleichung aber nur von t abhängt und die beiden Seiten stets gleich sind, muss \lambda eine Konstante sein. Wäre \lambda von t oder x abhängig, ergäbe sich zu einer der beiden Seiten der Gleichung ein Widerspruch.

Dies führt zu zwei Gleichungen, die jeweils nur noch von einer Variablen abhängen - und somit zu einem Gleichungssystem, bei dem nur noch \lambda ermittelt werden muss:

Das zu lösende Gleichungssystem lautet:

X''(x) = \lambda \cdot X(x)
T''(t)= \lambda \cdot c^2 \cdot T(t)

Beide Gleichungen sind mit Hilfe gegebener Randbedingungen lösbar. Das Einsetzen der einzelnen Lösungen in u(t,x) ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]