Sequenzenkalkül

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In der Beweistheorie und der mathematischen Logik bezeichnet man mit Sequenzenkalkül eine Familie formaler Systeme (oder Kalküle), die einen bestimmten Stil der Ableitung und gewisse Eigenschaften teilen. Die ersten Sequenzenkalküle, LK für die klassische und LJ für die intuitionistische Logik, sind von Gerhard Gentzen im Jahre 1934 als formaler Rahmen für die Untersuchung von Systemen des natürlichen Schließens in der Prädikatenlogik 1. Ordnung eingeführt worden.

Der Gentzensche Hauptsatz über LK und LJ besagt, dass die Schnittregel in diesen Systemen gilt, ein Satz mit weitreichenden Konsequenzen in der Metalogik. Die Flexibilität des Sequenzenkalküls zeigte sich später, im Jahr 1936, als Gentzen die Technik der Schnitt-Elimination verwendete, um die Widerspruchsfreiheit der Peano-Arithmetik zu beweisen.

Die auf Gentzen zurückgehenden Sequenzenkalküle und die allgemeinen Konzepte, die dahinterstehen, werden in weiten Bereichen der Beweistheorie, mathematischen Logik und des maschinengestützten Beweisens standardmäßig verwendet.

Notationen und Konventionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Artikel werden folgende Zeichen verwendet:

  • , …: Formelmengen
  • , , …: Formeln der Prädikatenlogik
  •  : Zeichen für Herleitungsbeziehung
  • ,  : Zeichen für die Beziehung der logischen Wahrheit/Folge
  •  : Negationszeichen
  •  : Adjunktionszeichen
  •  : Existenzquantor
  • ,  : Klammern als Hilfszeichen für mehr Übersichtlichkeit
  •  : Kennzeichnung für die Erweiterung einer Formelmenge
  •  : Zeichen für Modell
  •  : (Zeichen für Variablenbelegungsfunktion)

Es werden folgende Konventionen eingeführt:

  • Mittels diverser Regeln lassen sich die übrigen Junktoren in Formeln umformen, die dann nur noch und enthalten. Die Umformungregeln folgen:
  • Mittels einer Umformungsregel lässt sich der Quantor (Allquantor) wie folgt darstellen:

Von diesen Umformungen wird in den Beispielen Gebrauch gemacht.

Einleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sequenzenkalkül dient dazu, das Vorgehen beim mathematischen Beweisen von Theoremen möglichst genau abzubilden. Ein Bestandteil dieser Beweismethode ist, dass an jeder Stelle des Beweises Zusatzvoraussetzungen eingebracht werden können, die dann entweder bis zum Schluss stehen bleiben oder aber wieder eliminiert werden können.

Die Grundeinheit des Sequenzenkalküls ist eine Zeichenfolge (eine Sequenz) aus Variablen , die jeweils für Ausdrücke des jeweils betrachteten logischen Systems stehen; z. B. für Ausdrücke einer Sprache erster Stufe. Eine solche Sequenz bezeichnen wir mit

oder kürzer mit

wobei für die Folge der Ausdrücke steht. Die Idee dabei ist, dass in die Voraussetzungen stehen und das letzte Glied die Folgerung aus diesen Voraussetzungen bezeichnet. Die Voraussetzungen werden auch als Antezedens bezeichnet und die Folgerung als Sukzedens. Während die hier dargestellte Variante des Kalküls der Sukzedens aus nur einer Formel besteht, lassen andere Varianten, darunter Gentzens LK, beliebig viele Formeln im Sukzedens zu.

Der Sequenzenkalkül beschäftigt sich mit der Ableitung von Sequenzen. Gibt es im Kalkül eine Ableitung der Sequenz , dann schreibt man auch

Definition: Der Ausdruck heißt aus ableitbar (kurz: ), wenn es aus gibt mit .

Die Sequenzenregeln: Allgemeine Gestalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden werden die Regeln für den Sequenzenkalkül der klassischen Prädikatenlogik erster Stufe aufgeführt. Sequenzenregeln haben dabei die allgemeine Gestalt

Oberhalb des Striches stehen bereits abgeleitete Sequenzen, und unterhalb die daraus ableitbare Sequenz.

Andere Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sequenzenregeln findet man in der Literatur auch in der Form

oder auch als

notiert.

Regeln des Sequenzenkalküls der Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Regeln des Sequenzenkalküls der Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität werden in folgende Gruppen eingeteilt:

Grundregeln, Junktorenregeln, Quantorenregeln und Identitätsregeln.

Grundregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Grundregeln gehören die Antezedensregel und die Annahmeregel.

Antezedensregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

wobei gilt:

In Worten: Man kann problemlos Annahmen hinzufügen.

Annahmeregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

wobei gilt:

In Worten: Man kann Annahmen aus denselben schließen.

Junktorenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Junktorenregeln gehören die Fallunterscheidung, die Kontradiktion, die Adjunktionseinführung im Antezedens und die Adjunktionseinführung im Konsequens.

Fallunterscheidung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Wenn man einerseits unter der Annahme von und andererseits unter der Annahme von herleiten kann, darf man, ohne irgendeine Annahme über oder machen zu müssen, auf schließen.

Kontradiktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Wenn zu einem Widerspruch führt, dann darf auf geschlossen werden.

Adjunktionseinführung im Antezedens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Disjunktionen der Form im Antezedens können auf zwei Weisen verwendet werden - einerseits im Fall und andererseits im Fall .

Adjunktionseinführung im Konsequens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Man darf immer das Konsequens durch eine Adjunktionseinführung abschwächen.

Quantorenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Quantorenregeln gehören die Existenzeinführung im Konsequens und die Existenzeinführung im Antezedens.

Existenzeinführung im Konsequens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Wenn man aus herleiten kann, dass t eine durch ausgedrückte Eigenschaft hat, dann darf man auch darauf schließen, dass etwas existiert, welches eine Eigenschaft hat, die durch ausgedrückt wird.

Existenzeinführung im Antezedens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

, wenn y in der Sequenz nicht frei vorkommt.

Identitätsregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Identitätsregeln gehören die Reflexivität und die Substitutionsregel.

Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Die Äquivalenzrelation auf dem Gegenstandsbereich D ist reflexiv.

Substitutionsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Worten: Einsetzung von Identischem in Identisches.

Nützliche Herleitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den oben aufgestellten Regeln des Sequenzenkalküls werden nun in endlich vielen Schritten einige weitere nützliche Regeln hergeleitet. Zur Unterscheidung von den obigen Grundregeln heißen sie auch abgeleitete Regeln. (Zur Erinnerung: Herleitung ist gleichzusetzen mit Sequenzenmanipulation durch Anwendung der Regeln.) Diese einmal abgeleiteten Regeln können dann problemlos verwendet werden, das heißt, es reicht, deren Herleitung hier einmal zu zeigen. Hier werden folgende Regeln bewiesen: der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, die Trivialität, der Kettenschluss, die Kontraposition und der disjunktive Syllogismus. Zur Notation: Jede Herleitung ist in drei Spalten aufgeteilt. In der linken Spalte befindet sich die Nummerierung der einzelnen Modifikationen. Sie sind für eine unmissverständliche Bezugnahme durch andere Modifikationen nützlich. Die mittlere Spalte enthält die neue Modifikation, mit einer Abfolge von Sequenzen als Ergebnis. Die rechte Spalte enthält die Information, wie die Sequenz in der mittleren Spalte erreicht wurde. Dabei ist die Regel in Klammern geschrieben, und eventuell, durch ein Doppelpunkt eingeleitet (zu lesen als „angewendet auf“), sind die für das Ergebnis relevanten Zeilennummern notiert. Bsp.: „(Ant):1.,2.“ wird gelesen als „Antezedensregel, angewendet auf Zeile eins und zwei“.

Satz vom ausgeschlossenen Dritten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung:

Trivialität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung:

Kettenschluss[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung:

Anmerkung: Bei dieser Herleitung wurde die Regel (Triv) verwendet. An diesem Beispiel sieht man, dass eine Regel bloß einmal fehlerfrei hergeleitet zu werden braucht; in der Folge kann sie als Abkürzung verwendet werden. Durch die Verwendung der Regel (Triv) wurden fünf Herleitungsschritte ausgespart (nämlich genau die fünf Schritte, die man benötigt, um (Triv) herzuleiten).

Kontraposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung von (KP1)((KP2)-(KP4) analog):

Disjunktiver Syllogismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung:

Eigenschaften des Sequenzenkalküls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Korrektheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Korrektheitssatz lautet wie folgt:

Für alle Formelmengen und alle Formeln gilt: Wenn , dann .

Die Korrektheit des Sequenzenkalküls wird dadurch gezeigt, dass für jede einzelne Regel des Sequenzenkalküls gezeigt wird, dass sie korrekt ist, das heißt, dass jedes Modell und jede Variablenbelegung s, die die Prämissen der Regel wahr machen, auch deren Konsequenz wahr machen. Alle Korrektheitsbeweise zusammengenommen ergeben dann den Beweis des Korrektheitssatzes.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um den Korrektheitssatz zeigen zu können, müssen zuvor noch "Modell", "Variablenbelegung" und "wahr machen" (logische Wahrheit) definiert werden.

Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Modell ist ein geordnetes Paar , sodass gilt:

  1. D ist eine nicht-leere Menge (die "Domäne" oder der "Gegenstandsbereich", über die/den die Quantoren laufen)
  2. ist die Interpretationsfunktion für Prädikate, Funktionen und Konstanten (in der Folge nicht relevant)
Variablenbelegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Variablenbelegung s über einem Modell ist eine Funktion .

Logische Wahrheit/Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle Formeln und alle Formelmengen gilt: folgt logisch aus (kurz: ) gdw für alle Modelle und alle Variablenbelegungen s über gilt: Wenn , dann . (M.a.W.: Wenn es gibt, welche wahr machen, wird vom selben wahr gemacht.)

Korrektheit der Regeln des Sequenzenkalküls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Korrektheit der Regeln des Sequenzenkalküls zeigt man, indem man die logische Wahrheit der Regeln zeigt. Dabei stützt man sich auf die Definition der logischen Wahrheit/Folge. Nun wird gezeigt, dass jede einzelne Regel des Sequenzenkalküls logisch wahr ist. (Es werden nicht alle Beweise gezeigt. Es reicht, lediglich einige wenige zu skizzieren. Die restlichen Beweise sind von der Struktur her ähnlich.)

Korrektheit von (Ant)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen, ist korrekt, d. h. . Sei eine Formelmenge, sodass gilt: . Seien beliebig gewählt, sodass gilt: . Dann gilt auch und laut Voraussetzung auch . Daraus folgt . Also ist korrekt.

Korrektheit von (Ann)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn , dann gilt . Somit ist korrekt.

Korrektheit von (FU)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen und sind korrekt, d. h. und . Seien beliebig gewählt, sodass gilt: .

Fall 1: . Dann und somit nach Voraussetzung .

Fall 2: . Dann . Dann und somit nach Voraussetzung .

In beiden Fällen gilt . Somit ist korrekt.

Korrektheit von (KD)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen und . Dann gilt für alle mit :

und . Dann gibt es kein , sodass gilt: . Dann gilt für alle mit : . Somit gilt und somit ist korrekt.

Hat man noch zusätzlich die restlichen Regeln bewiesen, also deren Korrektheit gezeigt, so ist der Korrektheitssatz bewiesen und es kann gesagt werden: Ist eine Formel im Sequenzenkalkül herleitbar, so ist diese Formel auch logisch wahr.

Vollständigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kalkül ist außerdem auch noch vollständig. Das heißt es gilt:

Für alle Formelmengen und alle Formeln gilt: Wenn , dann .

Intuitiv bedeutet dies, dass alle wahren Sequenzen mit Hilfe der oben angegebenen Regeln hergeleitet werden können.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zum Schluss sollen noch zwei Beispiele mit dem Sequenzenkalkül vorgeführt werden.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung:

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]