Serres mod-C-Theorie

In der Mathematik ist Serres mod-C-Theorie ein Konzept der Homotopietheorie, demzufolge sich manche Sätze der algebraischen Topologie modulo Klassen abelscher Gruppen formulieren lassen.

Sei ${\mathcal {C}}$ eine Klasse abelscher Gruppen mit der Eigenschaft, dass für Gruppen in einer exakten Sequenz $0\to A\to B\to C\to 0$ aus $A\in {\mathcal {C}}$ und $C\in {\mathcal {C}}$ auch $B\in {\mathcal {C}}$ folgt. Weiterhin folge aus $A\in {\mathcal {C}}$ stets $A\otimes B\in {\mathcal {C}}$ für beliebige $B$, und aus $A\in {\mathcal {C}}$ folge $H_{i}(A)\in {\mathcal {C}}$ für alle $i>0$.

Ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen $f\colon A\to B$ heißt ${\mathcal {C}}$-injektiv, wenn sein Kern zu ${\mathcal {C}}$ gehört, und ${\mathcal {C}}$-surjektiv, wenn sein Kokern zu ${\mathcal {C}}$ gehört. Er heißt ein ${\mathcal {C}}$-Isomorphismus, wenn er ${\mathcal {C}}$-injektiv und ${\mathcal {C}}$-surjektiv ist.

Der von Serre bewiesene „Satz von Hurewicz mod ${\mathcal {C}}$“ besagt: Für einen Raum $X$ mit $\pi _{0}X=\pi _{1}X=0$ und $\pi _{i}X\in {\mathcal {C}}$ für alle $i<n$ ist $H_{i}(X)\in {\mathcal {C}}$ für $0<i<n$ und $\pi _{n}X\to H_{n}(X)$ ist ein ${\mathcal {C}}$-Isomorphismus. Für ${\mathcal {C}}=\left\{0\right\}$ erhält man den Satz von Hurewicz.

Der von Serre bewiesene „Satz von Whitehead mod ${\mathcal {C}}$“ besagt: Für Räume $X,Y$ mit $\pi _{0}X=\pi _{0}Y=0,\pi _{1}X=\pi _{1}Y=0$ und eine Abbildung $f\colon X\to Y$, so dass $f_{*}\colon \pi _{2}X\to \pi _{2}Y$ ${\mathcal {C}}$-surjektiv ist, sind für eine natürliche Zahl $n$ die folgenden Bedingungen äquivalent:

• $f_{*}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)$ ist ein ${\mathcal {C}}$-Isomorphismus für $i<n$ und ${\mathcal {C}}$-surjektiv für $i=n$,
• $f_{*}\colon \pi _{i}X\to \pi _{i}Y$ ist ein ${\mathcal {C}}$-Isomorphismus für $i<n$ und ${\mathcal {C}}$-surjektiv für $i=n$.

Für ${\mathcal {C}}=\left\{0\right\}$ erhält man einen Satz von Whitehead.

Literatur

• J.-P. Serre: Groupes D'Homotopie Et Classes De Groupes Abelien, Ann. Math. 58, 258–294, 1953. online