Exakte Sequenz

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Der Begriff der exakten Sequenz spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Sequenz

von Objekten und Morphismen in einer geeigneten Kategorie heißt exakt an der Stelle , wenn

gilt, d.h. wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nächsten ist. Eine längere Sequenz

heißt exakt, wenn sie exakt an den Stellen , und ist (analog für kürzere oder längere Sequenzen).

Geeignet in diesem Sinne ist eine Kategorie offenbar nur dann, wenn sinnvoll von Kern und Bild gesprochen werden kann. Dies ist der Fall für alle abelschen Kategorien, aber auch beispielsweise für die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Sequenz
ist genau dann exakt, wenn ein Monomorphismus ist.
Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:
  • Eine Sequenz
ist genau dann exakt, wenn ein Epimorphismus ist.
Unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:
  • Für jeden Homomorphismus von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Moduln, jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) existiert eine exakte Sequenz, wie folgt:
In Grp ist die Sequenz jedoch bei nur exakt, wenn das Bild von ein Normalteiler in ist. Auch in additiven, aber nicht abelschen Kategorien ist die Exaktheit nicht notwendigerweise gegeben. Dabei bezeichnet den Kokern von .
  • Für eine Gruppe seien
    • das Zentrum,
    • die Gruppe der Automorphismen,
    • die Gruppe der inneren Automorphismen und
    • die Gruppe der äußeren Automorphismen
von . Dann ist die Sequenz
exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch
gegeben.

Kurze exakte Sequenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine exakte Sequenz der Form

heißt kurze exakte Sequenz.

Zerfallende kurze exakte Sequenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine kurze exakte Sequenz zerfällt, wenn einen Schnitt hat. Vereinzelt wird anstatt zerfällt auch die Bezeichnung spaltet auf benutzt, die auf eine nicht ganz korrekte Übersetzung des englischen Begriffs split zurückzuführen ist.

In einer additiven Kategorie folgt hieraus auch, dass eine Retraktion hat, dass die entstehende Sequenz

ebenfalls exakt ist und dass diese Sequenzen isomorph zu

bzw.

sind.

Zerfällt eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen, ergibt sich daraus lediglich eine Operation von auf , und dass semidirektes Produkt von und bezüglich dieser Operation ist. Beispielsweise ist die zyklische Gruppe Untergruppe der symmetrischen Gruppe , woraus sich die kurze exakte Sequenz

ergibt; indem man das nicht-neutrale Element der auf ein Element der Ordnung 2 in abbildet, erhält man eine Spaltung.

Aufteilung einer langen exakten Sequenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man Kerne und Kokerne einfügt: Ist

eine exakte Sequenz, so sei

Dann gibt es kurze exakte Sequenzen

Ist ein Kettenkomplex, so ist die Exaktheit all dieser kurzen Sequenz äquivalent zur Exaktheit der langen Sequenz.

Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Kontext einer kurzen exakten Sequenz

sagt man auch, dass eine Erweiterung von durch ist.

Ist zum Beispiel ein Normalteiler in der Gruppe und die Faktorgruppe, so erhält man eine kurze, exakte Sequenz

,

wobei der zweite Pfeil die Einbettung von in und der dritte die Quotientenabbildung ist. Damit ist eine Erweiterung von und und man kann die Frage nach einer Klassifikation aller möglichen Erweiterungen von und stellen. Entsprechende Fragestellungen erhält man etwa in der Kategorie der Ringe oder Moduln über einem festen Ring. Dies führt zu mathematischen Begriffen wie Ext (Mathematik) oder Gruppenkohomologie.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]