Spiegelungsmatrix

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Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in der Ebene mit dem Neigungswinkel . Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Matrix einer Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel zur positiven x-Achse ist:

.

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors an einer beliebigen Geraden mit Neigungswinkel darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

  1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von um erreicht: . Der Vektor wird nun an gespiegelt:
  2. Verschiebung von um den Stützvektor der Ausgangsgeraden

Allgemeinere Spiegelungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.