Ursprungsgerade

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Ursprungsgeraden in der euklidischen Ebene

Eine Ursprungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung eines gegebenen kartesischen Koordinatensystems verläuft. Daher werden Ursprungsgeraden durch besonders einfache Geradengleichungen beschrieben. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bilden einen eindimensionalen Untervektorraum des euklidischen Raums.

Ursprungsgeraden in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ursprungsgerade in der euklidischen Ebene ist eine Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft. In der Koordinatenform besteht eine Ursprungsgerade damit aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Koordinaten die Geradengleichung

erfüllen, wobei und Parameter sind, die nicht beide gleich null sein dürfen. Durch Auflösen dieser Gleichung nach erhält man, sofern ist, die einfachere Form

mit der Steigung . In dieser Form kann eine Ursprungsgerade allerdings nicht senkrecht zur x-Achse verlaufen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die beiden Koordinatenachsen mit den Geradengleichungen

  und   .

Weitere wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die Winkelhalbierenden des I. und III. sowie des II. und IV. Quadranten mit den Geradengleichungen

  und   .

Vektorgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ursprungsgeraden können auch durch Vektorgleichungen beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren die Gleichung

für erfüllen. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade sind also skalare Vielfache des Richtungsvektors . Alternativ kann eine Ursprungsgerade auch in Normalenform über die Normalengleichung

angegeben werden. Hierbei stellt einen Normalenvektor der Gerade und das Skalarprodukt der beiden Vektoren und dar. Eine Ursprungsgerade besteht dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren senkrecht auf dem gegebenen Normalenvektor stehen.

Lotgerade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jeder Ursprungsgerade existiert eine dazu senkrechte Gerade, die ebenfalls durch den Koordinatenursprung verläuft. Diese Lotgerade hat dann die Koordinatendarstellung

beziehungsweise, sofern die Steigung der Ausgangsgerade ist,

.

Ein Normalenvektor der Ausgangsgerade ist ein Richtungsvektor der Lotgerade und ein Richtungsvektor der Ausgangsgerade ein Normalenvektor der Lotgerade.

Ursprungsgeraden im Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Raum

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Vektorgleichungen können auch Ursprungsgeraden in höherdimensionalen euklidischen Räumen beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren die Gleichung

für erfüllen. Eine Ursprungsgerade besteht damit wie im zweidimensionalen Fall aus allen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade sind. Durch eine Normalengleichung wird allerdings in drei- und höherdimensionalen Räumen keine Gerade mehr, sondern eine Hyperebene beschrieben.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im dreidimensionalen Raum können die drei Koordinatenachsen durch die Geradengleichungen

  und  

für angegeben werden. Hierbei sind , und die drei Standard-Einheitsvektoren.

Abstand eines Punkts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Abstand eines Punkts mit Ortsvektor von einer Ursprungsgerade mit Richtungsvektor beträgt , wobei

der Ortsvektor des Lotfußpunkts, das heißt die Orthogonalprojektion des Vektors auf die Gerade, ist.

Vektorraumstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen Vektorraum, den sogenannten Koordinatenraum. Die Menge der Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bildet dabei einen Untervektorraum des euklidischen Raums

.

Dieser Untervektorraum ist gerade die lineare Hülle des Richtungsvektors der Gerade. Die Ursprungsgeraden sind dabei die einzigen eindimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.

Ursprungsgeraden als Schnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ursprungsgerade als Schnitt zweier Ursprungsebenen

Die zweidimensionalen Untervektorräume des dreidimensionalen euklidischen Raums sind gerade die Ursprungsebenen. Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt stets eine Ursprungsgerade, wobei der Richtungsvektor dieser Schnittgerade durch das Kreuzprodukt

der Normalenvektoren und der beiden Ursprungsebenen gegeben ist. Allgemein sind die -dimensionalen Untervektorräume im -dimensionalen euklidischen Raum Ursprungs-Hyperebenen und der Schnitt von solchen Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren ergibt stets eine Ursprungsgerade, deren Richtungsvektor durch das verallgemeinerte Kreuzprodukt

gegeben ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, ISBN 3-540-35006-3.
  • Mike Scherfner, Torsten Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, ISBN 3-8274-2505-0.